1η φάση «Εύδοξος» 2009, Λύκειο: θέματα και λύσεις

Το παρσέκ (pc) ορίζεται ακριβώς ως η απόσταση από την οποία η μέση απόσταση Γης – Ήλιου (1 AU) φαίνεται υπό γωνία $1^{\prime \prime }$. Άρα ένας αστέρας με παράλλαξη $\pi =1^{\prime \prime }$ απέχει 1 pc.

Από τη γεωμετρία: $d=\frac{1\text{AU}}{\tan 1^{\prime \prime }}\approx \frac{1\text{AU}}{1^{\prime \prime }\text{σε ακτιˊνια}}$. Επειδή $1\text{rad}=206265^{\prime \prime }$, προκύπτει $d=206265\text{AU}$.

Απάντηση: (β) 206.265 AU.

Κάθε βαθμίδα μεγέθους αντιστοιχεί σε λόγο λαμπρότητας 2,5 (ακριβέστερα $100^{1/5}\approx 2,512$). Οι λόγοι πολλαπλασιάζονται.

Από το 14ο στο 10ο μέγεθος έχουμε 4 βαθμίδες: $\frac{F_{10}}{F_{14}}=2,5^4=39,06$ (με την ακριβή τιμή, $100^{4/5}\approx 39,8$).

Απάντηση: (β) 39 φορές. Προσοχή: δεν προσθέτουμε $4\times 2,5=10$· η κλίμακα των μεγεθών είναι λογαριθμική.

Βάρος: είναι δύναμη, $B=m{g}_{\text{Άρη}}$, και εξαρτάται από τον τόπο. Το μετράμε με δυναμόμετρο (ζυγό με ελατήριο), που δείχνει τη δύναμη με την οποία ο Άρης έλκει το σώμα.

Μάζα: δεν εξαρτάται από τον τόπο. Τη μετράμε με ζυγό ίσων βραχιόνων και σταθμά: συγκρίνει τη μάζα του σώματος με γνωστές μάζες, και επειδή η βαρύτητα επιδρά το ίδιο και στα δύο σκεύη, η ένδειξη είναι ίδια στη Γη και στον Άρη.

Το βάρος στην επιφάνεια είναι η δύναμη της παγκόσμιας έλξης με απόσταση από το κέντρο του (σφαιρικού) πλανήτη ίση με την ακτίνα του: $B=\frac{G{M}_{\text{Άρη}}m}{R_{\text{Άρη}}^2}$.

Αφού ξέρουμε τα $m$ και $G$, πρέπει να γνωρίζουμε τη μάζα $M$ και την ακτίνα $R$ του Άρη. (Με $M\approx 6,42\times 10^{23}$ kg και $R\approx 3390$ km βρίσκουμε $g\approx 3,7{\text{m/s}}^2$, περίπου το 38% της γήινης.)

Μια μεγάλη κεραία σαν αυτή «κοιτάζει» συνήθως έναν γεωστατικό δορυφόρο, που βρίσκεται πάνω από τον ισημερινό της Γης, σε ύψος περίπου 35.800 km. Από το βόρειο ημισφαίριο τον βλέπουμε προς τον Νότο.

Σε πρώτη προσέγγιση (δορυφόρος πολύ μακριά), το ύψος του πάνω από τον ορίζοντα είναι $h\approx 90^{\circ }-\phi$, όπως το ύψος του ουράνιου ισημερινού στο μεσημβρινό. Άρα $\phi \approx 90^{\circ }-h$.

Στη φωτογραφία ο άξονας του κατόπτρου (κάθετος στο στεφάνι του) σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία περίπου $45^{\circ }\text{–}50^{\circ }$. Επομένως $\phi \approx 40^{\circ }\text{–}45^{\circ }$. Αν λάβουμε υπόψη και την πεπερασμένη απόσταση του δορυφόρου, $\tan h=\frac{\cos \phi -0,151}{\sin \phi }$, το ίδιο ύψος δίνει $\phi \approx 35^{\circ }\text{–}40^{\circ }$.

Απάντηση: περίπου $40^{\circ }$ Β (±5°), δηλαδή γεωγραφικό πλάτος σαν της Ελλάδας. Η ακρίβεια εξαρτάται από το πόσο καλά εκτιμάμε τη γωνία στη φωτογραφία.

Η φωτεινότητα $L$ (ισχύς που εκπέμπει ο αστέρας) μοιράζεται ομοιόμορφα σε σφαίρες γύρω του. Σε απόσταση $r$ η λαμπρότητα είναι $F_r=\frac{L}{4\pi r^2}$.

Στην επιφάνεια ($r=R$): $F_0=\frac{L}{4\pi R^2}$. Διαιρώντας κατά μέλη: $\frac{F_0}{F_r}=\frac{r^2}{R^2}$.

Απάντηση: $r=R\sqrt{\frac{F_0}{F_r}}$.

Η Γη κάνει κυκλική κίνηση γύρω από τον Ήλιο και την κεντρομόλο δύναμη τη δίνει η βαρύτητα: $\frac{G{M}_{\odot }m}{A^2}=m{\omega }^{2}A$, με $\omega =\frac{2\pi }{E}$.

Λύνουμε ως προς τη μάζα (3ος νόμος του Κέπλερ): $M_{\odot }=\frac{4{\pi }^2{A}^3}{G{E}^2}$.

Με $A=1,496\times 10^{13}$ cm και $E=365,25\times 86400=3,156\times 10^7$ s: $M_{\odot }=\frac{39,48\times 3,348\times 10^{39}}{6,67\times 10^{-8}\times 9,959\times 10^{14}}\approx 1,99\times 10^{33}\text{gr}$.

Απάντηση: $M_{\odot }\approx 2\times 10^{33}$ gr $=2\times 10^{30}$ kg.

Η μετατόπιση προς το ερυθρό είναι $z=\Delta \lambda /\lambda =2$. Ο κλασικός τύπος $v=zc$ θα έδινε $v=6\times 10^8$ m/s, μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός, που είναι αδύνατο. Άρα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον σχετικιστικό τύπο Doppler.

$1+z=\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}\Rightarrow \frac{v}{c}=\frac{(1+z{)}^2-1}{(1+z{)}^2+1}=\frac{9-1}{9+1}=0,8$.

Απάντηση: $v=0,8c=2,4\times 10^8$ m/s. (Στην πραγματικότητα η ερυθρή μετατόπιση των μακρινών κβάζαρ οφείλεται στη διαστολή του Σύμπαντος και όχι σε κίνηση μέσα στον χώρο· ο τύπος Doppler είναι εδώ η προσέγγιση που ζητά η άσκηση.)

9.1 Σ. Ο Κέπλερ βρήκε τους νόμους του εμπειρικά, από τις παρατηρήσεις του Τύχο Μπράχε. Τους εξήγησε αργότερα ο Νεύτωνας με τη βαρύτητα.

9.2 Λ. Η δύναμη είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης: $F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$.

9.3 Λ. Τα περισσότερα άστρα δεν έρχονται σε σύγκρουση με το γεωκεντρικό σύστημα. Τα σοβαρά πλήγματα ήταν οι πλήρεις φάσεις της Αφροδίτης και οι δορυφόροι του Δία, που δεν περιφέρονται γύρω από τη Γη.

9.4 Λ. Η εκκεντρότητα είναι $e=c/a$, όπου $c$ η απόσταση μιας εστίας από το κέντρο. Η απόσταση των εστιών είναι $2c$, οπότε ο λόγος της προς τον μεγάλο ημιάξονα είναι $2e$. (Σωστό θα ήταν: προς τον μεγάλο άξονα $2a$.)

9.5 Λ. Το ορατό φως (περίπου 400–700 nm) είναι ένα πολύ μικρό τμήμα του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος.

9.6 Σ. $1\text{nm}=10^{-9}\text{m}$ και $1\text{A˚}=10^{-10}\text{m}$, άρα $1\text{nm}=10\text{A˚}$.

9.7 Σ. Στα Schmidt – Cassegrain το κύριο κάτοπτρο είναι σφαιρικό και η σφαιρική εκτροπή διορθώνεται από τη λεπτή πλάκα διόρθωσης Schmidt στην είσοδο του σωλήνα.

9.8 Λ. Στο μοντέλο του Αριστοτέλη ο Κρόνος είχε την εξωτερική πλανητική σφαίρα. Πιο έξω βρισκόταν η σφαίρα των απλανών αστέρων.

10.1 (α) βολίδα. Βολίδα λέγεται ένας πολύ λαμπρός διάττοντας, ιδίως όταν εκρήγνυται και σπάει σε κομμάτια.

10.2 (β) υπολείμματα κομητών. Η Γη περνά κάθε χρόνο από την τροχιά ενός κομήτη, όπου έχουν μείνει κόκκοι σκόνης (π.χ. Περσείδες από τον κομήτη Swift–Tuttle).

10.3 (β) κενά Kirkwood. Είναι περιοχές με λίγους αστεροειδείς, όπου η περίοδος θα ήταν απλό κλάσμα της περιόδου του Δία (π.χ. 1/3, 2/5, 1/2).

10.4 (γ) άνθρακα. 10.5 (β) οπτικά διπλός. Οι δύο αστέρες απλώς φαίνονται κοντά, χωρίς φυσική σχέση. 10.6 (α) κηφείδες. Η σχέση περιόδου – φωτεινότητας (Leavitt) τους κάνει «πρότυπα κεριά» για αποστάσεις.

10.7 (β) διάμετρο. Στην κύρια ακολουθία, τα θερμότερα άστρα είναι πιο μεγάλα και πιο μαζικά. 10.8 (β) ζώνη μεταφοράς. Η κοκκίαση είναι οι κορυφές των κυψελών μεταφοράς κάτω από τη φωτόσφαιρα.

10.9 (δ) στον ηλιακό ισημερινό. Στην αρχή ενός κύκλου οι κηλίδες εμφανίζονται σε πλάτη περίπου 30°–35° και, όσο προχωρά ο κύκλος, πλησιάζουν τον ισημερινό (νόμος Spörer, «διάγραμμα πεταλούδας»). 10.10 (α) τα εξωτερικά στρώματα. Το φως που φτάνει σε εμάς ξεφεύγει από τη φωτόσφαιρα. Τα εσωτερικά, όπου παράγεται η ενέργεια, είναι αδιαφανή.