1η φάση «Εύδοξος» 2011, Λύκειο: θέματα και λύσεις

Θερμοκρασία: η φασματική σειρά από θερμότερα σε ψυχρότερα είναι O B A F G K M. (α) Πιο θερμός ο Altair (A). (β) Πιο ψυχρός ο Barnard’s Star (M).

Λαμπρότητα (όπως φαίνεται): μικρότερο φαινόμενο μέγεθος σημαίνει λαμπρότερο. (γ) Πιο λαμπρός ο Alpha Centauri A ($m=0,0$). (δ) Πιο αμυδρός ο Barnard’s Star ($m=9,5$).

Πραγματική φωτεινότητα: την κρίνουμε από το απόλυτο μέγεθος. (ε) Πιο φωτεινός ο Altair ($M=2,1$). (στ) Λιγότερο φωτεινός ο Barnard’s Star ($M=13,2$).

Απόσταση: $d(\text{pc})=1/{\pi }^{\prime \prime }$, άρα μεγαλύτερη παράλλαξη σημαίνει μικρότερη απόσταση. Αποστάσεις: Alpha Cen A 1,35 pc, Barnard 1,82 pc, Altair 5,15 pc, Thuban 5,78 pc. (ζ) Πλησιέστερος ο Alpha Centauri A. (η) Μακρύτερα ο Thuban.

(α) Διάβαση λέμε το πέρασμα ενός μικρότερου (σε φαινόμενο μέγεθος) ουράνιου σώματος μπροστά από τον δίσκο ενός μεγαλύτερου, όπως φαίνεται από τον παρατηρητή. Το μικρό σώμα φαίνεται ως σκοτεινή κουκκίδα που διασχίζει τον φωτεινό δίσκο. (Με τον όρο «διάβαση» λέγεται και το πέρασμα ενός άστρου από τον μεσημβρινό του τόπου, η μεσουράνηση.)

(β) Από τη Γη βλέπουμε διαβάσεις του Ερμή και της Αφροδίτης μπροστά από τον Ήλιο, γιατί μόνο αυτοί περνούν ανάμεσα σε Ήλιο και Γη. Επίσης διαβάσεις των δορυφόρων του Δία μπροστά από τον δίσκο του, και διαβάσεις εξωπλανητών μπροστά από τα άστρα τους, η μέθοδος με την οποία έχουν βρεθεί οι περισσότεροι εξωπλανήτες.

(γ) Είναι σπάνιες, γιατί οι τροχιές έχουν κλίση ως προς την εκλειπτική. Χρειάζεται ο πλανήτης να βρίσκεται σε κατώτερη σύνοδο ακριβώς κοντά σε δεσμό. Του Ερμή: περίπου 13–14 ανά αιώνα, τον Μάιο ή τον Νοέμβριο. Της Αφροδίτης: σε ζεύγη με διαφορά 8 ετών, που επαναλαμβάνονται μετά από 105,5 ή 121,5 έτη (2004 και 2012, οι επόμενες το 2117 και το 2125).

Στο διάγραμμα H–R η θερμοκρασία μειώνεται προς τα δεξιά και η φωτεινότητα αυξάνεται προς τα πάνω (μικρότερο απόλυτο μέγεθος).

(1) Rigel (−6,6): μπλε υπεργίγαντας πάνω αριστερά. (2) Betelgeuse (−5,0): ερυθρός υπεργίγαντας πάνω δεξιά.

(3) Vega (0,6): άστρο φασματικού τύπου A της κύριας ακολουθίας. (4) Ήλιος (4,8): άστρο G της κύριας ακολουθίας, στη μέση.

(5) Barnard’s star (13,2): ερυθρός νάνος κάτω δεξιά. (6) Sirius B (11,3): λευκός νάνος, θερμός αλλά αμυδρός, κάτω αριστερά.

Απάντηση: 1 – α, 2 – δ, 3 – β, 4 – γ, 5 – ε, 6 – στ.

(α) – (5) Οπτικά διπλό: τα δύο μέλη διακρίνονται χωριστά στο τηλεσκόπιο. (β) – (1) Αστρομετρικά διπλό: ο ορατός αστέρας «κυματίζει» στον ουρανό εξαιτίας αόρατου συνοδού (όπως ο Σείριος πριν φανεί ο Σείριος Β).

(γ) – (4) Φασματοσκοπικά διπλό: φαίνεται ένα άστρο, αλλά οι φασματικές γραμμές μετατοπίζονται περιοδικά (φαινόμενο Doppler) ή διπλασιάζονται. (δ) – (2) Εκλειπτικά διπλό: η λαμπρότητα πέφτει όταν το ένα άστρο κρύβει το άλλο (π.χ. Αλγκόλ).

(ε) – (3) Φαινομενικά διπλό: τα δύο άστρα απλώς βρίσκονται στην ίδια περίπου οπτική ευθεία, σε πολύ διαφορετικές αποστάσεις, χωρίς φυσική σχέση.

1. Περιστροφή γύρω από τον άξονά της, από τη δύση προς την ανατολή, σε μία αστρική ημέρα (23ώ 56λ). Δημιουργεί τη μέρα και τη νύχτα.

2. Περιφορά γύρω από τον Ήλιο σε ελλειπτική τροχιά, σε ένα έτος, με μέση ταχύτητα περίπου 30 km/s. Μαζί με την κλίση του άξονα δημιουργεί τις εποχές.

3. Μετάπτωση του άξονα: ο άξονας διαγράφει κώνο σε περίπου 26.000 χρόνια, εξαιτίας της έλξης Ήλιου και Σελήνης στο εξόγκωμα του ισημερινού. Τα ισημερινά σημεία μετακινούνται. 4. Κλόνηση: μικρή «ταλάντωση» του άξονα με περίοδο 18,6 ετών, εξαιτίας της Σελήνης.

5. Κίνηση γύρω από το κέντρο μάζας Γης – Σελήνης (λίγο κάτω από την επιφάνεια της Γης) μία φορά τον μήνα. 6. Κίνηση μαζί με τον Ήλιο γύρω από το κέντρο του Γαλαξία, με περίπου 230 km/s, μία περιφορά σε περίπου 230 εκατομμύρια χρόνια. Επιπλέον, ο Ήλιος κινείται με περίπου 20 km/s προς την περιοχή του Ηρακλή (απόγειο), και ο Γαλαξίας μας κινείται μέσα στην Τοπική Ομάδα.

(α) – (5) Πτολεμαίος. (Η Αλμαγέστη γράφτηκε γύρω στο 150 μ.Χ.· το «π.Χ.» της εκφώνησης είναι λάθος.) (β) – (3) Κέπλερ. (γ) – (2) Γαλιλαίος. (δ) – (1) Κοπέρνικος, «De revolutionibus», 1543.

(ε) – (4) Νεύτωνας. (στ) – (6) Τύχο Μπράχε. (ζ) – (8) Λεβεριέ, ο Ποσειδώνας το 1846.

(η) – (7) Ευγένιος Αντωνιάδης: με το μεγάλο τηλεσκόπιο του Meudon έδειξε (1909) ότι τα «κανάλια» ήταν οπτική ψευδαίσθηση. (θ) – (10) Άρατος, το ποίημα «Φαινόμενα». (ι) – (9) Ερατοσθένης, οι «Καταστερισμοί» (που του αποδίδονται).

Συνολικό εμβαδό της έλλειψης: $E=\pi \alpha \beta =\pi \times 6\times 10^{11}\times 5,9\times 10^{11}\approx 1,112\times 10^{24}{\text{m}}^2$.

Περίοδος από τον 3ο νόμο του Κέπλερ (σε έτη και AU): $T^2={\alpha }^3=4^3=64\Rightarrow T=8$ έτη.

Από τον 2ο νόμο (ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους) ο χρόνος είναι ανάλογος του εμβαδού: $t=T\frac{E_1}{E}=8\times \frac{27,789\times 10^{22}}{111,2\times 10^{22}}=8\times 0,25$.

Απάντηση: $t\approx 2$ έτη. Η επιβατική ακτίνα σαρώνει το ένα τέταρτο της έλλειψης σε ένα τέταρτο της περιόδου.

Η επιτάχυνση της βαρύτητας σε απόσταση $r$ από το κέντρο είναι $g(r)=\frac{GM}{r^2}$, και στην επιφάνεια $g_0=\frac{GM}{R^2}$. Άρα $g(r)=g_0\frac{R^2}{r^2}$.

Η εκφώνηση δίνει απόσταση $2R$ από το κέντρο: $g=10\times \frac{1}{4}=2,5{\text{m/s}}^2$.

Προσοχή στη διατύπωση: αν εννοούσε ύψος $2R$ πάνω από την επιφάνεια, τότε $r=3R$ και $g=10/9\approx 1,1{\text{m/s}}^2$.