1η φάση «Εύδοξος» 2012, Λύκειο: θέματα και λύσεις

1.1 Σ. Η θέση ενός άστρου στο διάγραμμα H–R αλλάζει καθώς εξελίσσεται, και τα διαγράμματα σμηνών δείχνουν την εξέλιξη. 1.2 Λ. Οι γίγαντες και οι υπεργίγαντες είναι εκατοντάδες έως εκατοντάδες χιλιάδες φορές φωτεινότεροι από τα περισσότερα άστρα της κύριας ακολουθίας.

1.3 Σ. Οι λευκοί νάνοι γεννιούνται πολύ θερμοί, αλλά δεν παράγουν ενέργεια και ψύχονται συνεχώς. Στο τελευταίο στάδιο έχουν θερμοκρασίες κάτω από τους περίπου 5.800 K της ηλιακής επιφάνειας, μέχρι να γίνουν (θεωρητικά) «μαύροι νάνοι». 1.4 Λ. Αντίθετα: τα μαζικά άστρα «καίνε» το καύσιμό τους πολύ γρηγορότερα (περίπου $t\propto M^{-2,5}$). Ένα άστρο 10 ηλιακών μαζών μένει στην κύρια ακολουθία μερικές δεκάδες εκατομμύρια χρόνια, ενώ ο Ήλιος περίπου 10 δισεκατομμύρια.

1.5 Σ. Κοντά σε μια μαύρη τρύπα ο χώρος καμπυλώνεται έντονα και ο χρόνος «επιβραδύνεται» για μακρινό παρατηρητή (γενική σχετικότητα). 1.6 Λ. Στην ελληνική παράδοση ο Κένταυρος Χείρων είναι ο αστερισμός του Κενταύρου. Ο Τοξότης ταυτίζεται συνήθως με τον Κρότο (αν και κάποιες μεταγενέστερες πηγές τον ταυτίζουν με κένταυρο).

1.7 Λ. Τα μεγάλα (μαζικά) άστρα ζουν λίγο και δεν αφήνουν χρόνο για να αναπτυχθεί ζωή. Πιο ευνοϊκά είναι μικρότερα, σταθερά άστρα με μεγάλη διάρκεια ζωής, σαν τον Ήλιο. 1.8 Λ. Το σμήνος της Παρθένου απέχει περίπου 16–17 Mpc και δεν ανήκει στην Τοπική Ομάδα, αλλά είναι το κέντρο του Τοπικού Υπερσμήνους.

1.9 Λ. Από το εαρινό ισημερινό σημείο γ μετράμε την ορθή αναφορά. Η ωριαία γωνία μετριέται από τον μεσημβρινό του τόπου. 1.10 Σ. Ο Κάνωπος (α Τρόπιδας, περιοχή της παλιάς Αργούς) είναι το δεύτερο λαμπρότερο άστρο μετά τον Σείριο.

2.1 Το «Γαλιλαίος» της NASA εκτοξεύθηκε στις 18 Οκτωβρίου 1989 από το διαστημικό λεωφορείο Atlantis. Επειδή δεν είχε αρκετή ώθηση για απευθείας πτήση, πήρε βαρυτικές «ωθήσεις» από την Αφροδίτη (1990) και δύο φορές από τη Γη (1990, 1992). Στη διαδρομή φωτογράφισε τους αστεροειδείς Γκάσπρα (1991) και Ίντα (1993), όπου ανακάλυψε τον πρώτο δορυφόρο αστεροειδούς, τον Δάκτυλο. Είδε επίσης από κοντά τις προσκρούσεις του κομήτη Shoemaker–Levy 9 στον Δία (1994).

2.2 Προορισμός του ήταν ο Δίας και οι δορυφόροι του. Ήταν το πρώτο σκάφος που μπήκε σε τροχιά γύρω από εξωτερικό πλανήτη.

2.3 Ναι, παρά ένα σοβαρό πρόβλημα: η μεγάλη κεραία του δεν άνοιξε, και τα δεδομένα στάλθηκαν μέσω της μικρής κεραίας, με πολύ μικρότερο ρυθμό, χάρη σε έξυπνη συμπίεση. Στις 7 Δεκεμβρίου 1995 έφτασε στον Δία, και ένας βολιστής του μπήκε στην ατμόσφαιρά του και έστειλε μετρήσεις για περίπου μία ώρα. Επί οκτώ χρόνια μελέτησε τα ηφαίστεια της Ιούς, βρήκε ενδείξεις για υπόγειο αλμυρό ωκεανό στην Ευρώπη (και πιθανώς σε Γανυμήδη και Καλλιστώ) και ανακάλυψε το μαγνητικό πεδίο του Γανυμήδη. Στις 21 Σεπτεμβρίου 2003 κατευθύνθηκε σκόπιμα μέσα στον Δία, ώστε να μη μολύνει την Ευρώπη.

3.1 Στην εαρινή ισημερία ο Ήλιος βρίσκεται πάνω στον ουράνιο ισημερινό ($\delta =0^{\circ }$). Ο ισημερινός τέμνει τον ορίζοντα ακριβώς στα σημεία Ανατολή και Δύση, άρα ο Ήλιος ανατέλλει ακριβώς στην Ανατολή και δύει ακριβώς στη Δύση, σε κάθε τόπο εκτός από τους πόλους.

3.2 Από την εαρινή ισημερία ως το θερινό ηλιοστάσιο η απόκλιση του Ήλιου αυξάνεται από 0° σε +23,4°. Τα σημεία ανατολής και δύσης μετακινούνται σταδιακά προς τα βόρεια: η ανατολή προς τα βορειοανατολικά και η δύση προς τα βορειοδυτικά. Στο ηλιοστάσιο φτάνουν στη μέγιστη απόκλιση και μετά αρχίζουν να επιστρέφουν.

Η μέγιστη απόκλιση από την Ανατολή δίνεται από τη σχέση $\sin A=\frac{\sin \delta }{\cos \phi }$. Για την Αθήνα ($\phi \approx 38^{\circ }$): $\sin A=\frac{0,398}{0,788}\Rightarrow A\approx 30^{\circ }$ βόρεια της Ανατολής.

Ισοτροπία (ίδια εικόνα προς όλες τις κατευθύνσεις): η ακτινοβολία υποβάθρου έχει την ίδια θερμοκρασία (2,725 K) σε όλο τον ουρανό, με διαφορές μόνο ενός μέρους στις 100.000. Επίσης, οι μακρινές ραδιοπηγές, οι εκλάμψεις ακτίνων γάμμα και το υπόβαθρο ακτίνων Χ κατανέμονται ομοιόμορφα, και ο νόμος του Hubble ισχύει με την ίδια σταθερά προς κάθε κατεύθυνση.

Ομογένεια (ίδια μέση πυκνότητα παντού): οι μεγάλες χαρτογραφήσεις γαλαξιών (π.χ. SDSS) δείχνουν ότι, παρά τα σμήνη, τα νήματα και τα κενά, σε κλίμακες μεγαλύτερες από περίπου 100 Mpc ο αριθμός των γαλαξιών ανά μονάδα όγκου είναι σταθερός. Επιπλέον, αφού δεν έχουμε προνομιακή θέση (κοσμολογική αρχή), η ισοτροπία που βλέπουμε από εδώ υπονοεί ομογένεια.

Ο Hubble (1926) ταξινόμησε τους γαλαξίες σύμφωνα με τη μορφή τους, στο λεγόμενο «διάγραμμα διαπασών». Δεν είναι ακολουθία εξέλιξης, όπως πίστευε αρχικά.

Ελλειπτικοί (E0–E7): ελλειψοειδείς, χωρίς σπείρες. Ο αριθμός δείχνει την πλάτυνση: $10(1-b/a)$. Έχουν κυρίως παλιά, κόκκινα άστρα, ελάχιστο αέριο και σκόνη, λίγη νέα αστρογένεση. Ανάμεσά τους οι πιο μαζικοί γαλαξίες.

Σπειροειδείς (Sa, Sb, Sc): δίσκος με σπειροειδείς βραχίονες και κεντρικό εξόγκωμα, με πολύ αέριο, σκόνη και νέα, γαλάζια άστρα στους βραχίονες. Από το a στο c το εξόγκωμα μικραίνει και οι βραχίονες ανοίγουν. Ραβδωτοί σπειροειδείς (SBa–SBc): οι βραχίονες ξεκινούν από τα άκρα μιας κεντρικής ράβδου (όπως ο δικός μας Γαλαξίας).

Φακοειδείς (S0): ενδιάμεσοι, με δίσκο και εξόγκωμα αλλά χωρίς βραχίονες και με λίγο αέριο. Ανώμαλοι (Irr): χωρίς κανονικό σχήμα, συχνά μικροί, με πολύ αέριο και έντονη αστρογένεση (π.χ. Νέφη του Μαγγελάνου).

Μετατρέπουμε σε παρσέκ: $d=\frac{52,6}{3,26}\approx 16,1$ pc.

Από τη σχέση απόστασης: $m-M=5{\log }_{10}\frac{d}{10\text{pc}}\Rightarrow M=8-5{\log }_{10}(1,61)=8-1,04$.

Απάντηση: $M\approx 6,96\approx 7$. Επειδή ο αστέρας απέχει λίγο περισσότερο από 10 pc, το απόλυτο μέγεθος βγαίνει λίγο μικρότερο (λαμπρότερο) από το φαινόμενο.

Νόμος του Hubble: $v=H_{0}d$.

$v=75\frac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}\times 200\text{Mpc}=15.000\text{km/s}$.

Απάντηση: $v=1,5\times 10^4$ km/s, περίπου 5% της ταχύτητας του φωτός, οπότε ο απλός τύπος είναι αρκετά ακριβής.

Μάζα των αστεροειδών: $6000\times 1000\text{t}=6\times 10^6\text{t}=6\times 10^9\text{kg}$.

Μάζα της Γης: $M=d\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=5000{\text{kg/m}}^3\times \frac{4}{3}\pi (6,4\times 10^6\text{m}{)}^3\approx 5,5\times 10^{24}\text{kg}$ (με $5{\text{g/cm}}^3=5000{\text{kg/m}}^3$).

Λόγος: $\frac{6\times 10^9}{5,5\times 10^{24}}\approx 1,1\times 10^{-15}$.

Απάντηση: η συνολική μάζα της ομάδας είναι περίπου ένα τετράκις εκατομμυριοστό ($10^{-15}$) της μάζας της Γης. Η Γη είναι περίπου $9\times 10^{14}$ φορές βαρύτερη.