1η φάση 2017, Λύκειο: θέματα και λύσεις

Σωστή απάντηση: (γ) Ο Λέων

Ο Ωρίων συνορεύει με τον Ταύρο, τους Διδύμους, τον Μονόκερω, τον Λαγό και τον Ηριδανό. Ο Λέων βρίσκεται πολύ πιο ανατολικά, μετά τον Καρκίνο, και δεν έχει κοινό σύνορο με τον Ωρίωνα.

Σωστή απάντηση: (δ) Δεν παρουσιάζουν χρωματικό σφάλμα

Οι φακοί διαθλούν διαφορετικά κάθε χρώμα, οπότε τα διοπτρικά τηλεσκόπια έχουν χρωματικό σφάλμα (το μειώνουν οι αχρωματικοί και αποχρωματικοί φακοί). Τα κάτοπτρα ανακλούν όλα τα χρώματα με τον ίδιο τρόπο και δεν έχουν χρωματικό σφάλμα.

Σημείωση: περίθλαση υπάρχει σε κάθε τηλεσκόπιο, γιατί οφείλεται στο πεπερασμένο άνοιγμα. Τα διοπτρικά απλώς δεν έχουν τις «ακτίνες» περίθλασης από τη βάση του δευτερεύοντος κατόπτρου. Η πρόταση που ξεκάθαρα δεν ισχύει είναι η (δ).

Σωστή απάντηση: (γ) 32 km/s

Η πρώτη κοσμική ταχύτητα είναι η ταχύτητα κυκλικής τροχιάς στην επιφάνεια: \(v_1=\sqrt{GM/R}=\sqrt{gR}\).

\(v_1=\sqrt{(4\cdot10)\,(4\cdot6{,}4\times10^{6})}=\sqrt{1{,}024\times10^{9}}=3{,}2\times10^{4}\) m/s \(=32\) km/s.

Σωστή απάντηση: (α) Insat

Οι δορυφόροι INSAT της Ινδίας έχουν και μετεωρολογικά όργανα. Οι Intelsat και Inmarsat είναι τηλεπικοινωνιακοί, το SOHO παρατηρεί τον Ήλιο και το Spitzer είναι υπέρυθρο διαστημικό τηλεσκόπιο.

Σωστή απάντηση: (δ) Kepler

Το Kepler (2009–2018) παρακολουθούσε συνεχώς τη λαμπρότητα περίπου 150 000 αστέρων και ανίχνευε τις μικρές πτώσεις όταν ένας πλανήτης περνούσε μπροστά τους.

Σωστή απάντηση: (γ) \(\alpha=180^\circ\), \(\delta=0^\circ\)

Τα ισημερινά σημεία είναι οι τομές εκλειπτικής και ουράνιου ισημερινού, άρα \(\delta=0^\circ\). Το εαρινό σημείο έχει \(\alpha=0^\circ\) και το φθινοπωρινό βρίσκεται απέναντι, \(\alpha=180^\circ=12^\text{h}\).

Σωστή απάντηση: (ε) \(\alpha=270^\circ\), \(\delta=-23^\circ27′\)

Στο χειμερινό ηλιοστάσιο ο Ήλιος έχει τη μικρότερη απόκλιση, \(-\varepsilon=-23^\circ27′\), και βρίσκεται \(90^\circ\) μετά το φθινοπωρινό σημείο: \(\alpha=270^\circ=18^\text{h}\).

Σωστή απάντηση: (α) 4h 55min 4sec

Όταν το σημείο γ μεσουρανεί, ο αστρικός χρόνος είναι \(0^\text{h}\). Ο αστέρας ανατέλλει τότε.

Το ημερήσιο τόξο είναι συμμετρικό ως προς τη μεσουράνηση, άρα ο αστέρας μεσουρανεί μετά το μισό του: \(9^\text{h}50^\text{m}08^\text{s}/2=4^\text{h}55^\text{m}04^\text{s}\) (σε αστρικό χρόνο).

Σωστή απάντηση: (δ) 9h 50min 8sec

Ξεκινά από αστρικό χρόνο \(0^\text{h}\) τη στιγμή της ανατολής και μένει πάνω από τον ορίζοντα όσο διαρκεί το ημερήσιο τόξο, άρα δύει στις \(9^\text{h}50^\text{m}08^\text{s}\).

Σωστή απάντηση: (δ) 25 φορές

\(\dfrac{L}{L_\odot}=\left(\dfrac{R}{R_\odot}\right)^2\left(\dfrac{T}{T_\odot}\right)^4=9\left(\dfrac{7500}{5800}\right)^4=9\times2{,}80\approx25\).

Σωστή απάντηση: (ε) \(10^8\) φορές

Ακτίνα Schwarzschild: \(R_s=2GM/c^2\). Μέση πυκνότητα: \(\rho=\dfrac{M}{\tfrac43\pi R_s^3}=\dfrac{3c^6}{32\pi G^3M^2}\).

Άρα \(M=\sqrt{\dfrac{3c^6}{32\pi G^3\rho}}=\sqrt{\dfrac{3\,(3\times10^8)^6}{32\pi\,(6{,}67\times10^{-11})^3\cdot1850}}\approx2\times10^{38}\) kg.

\(M/M_\odot\approx2\times10^{38}/2\times10^{30}=10^8\). Όσο μεγαλύτερη η μάζα μιας μαύρης τρύπας, τόσο μικρότερη η μέση πυκνότητά της (\(\rho\propto M^{-2}\)).

Σωστή απάντηση: (ε) 20 φορές

Εξίσωση του Τσιολκόφσκι: \(v=u\ln\dfrac{m_0}{m}\). Για \(v=3u\): \(\dfrac{m_0}{m}=e^3\approx20\).

Σωστή απάντηση: (δ) 400.000 km

\(v_1=\sqrt{gR}\Rightarrow R=\dfrac{v_1^2}{g}=\dfrac{(2\times10^5)^2}{100}=4\times10^{8}\) m \(=400\,000\) km.

Σωστή απάντηση: (β) 17 sec

Διατήρηση της στροφορμής για σφαίρα: \(I\omega=\tfrac25MR^2\cdot\tfrac{2\pi}{T}\) σταθερό, άρα \(T\propto R^2\).

Ακτίνα του νέφους: \(\rho=10^{10}\cdot1{,}67\times10^{-27}\,\text{kg}/10^{-6}\,\text{m}^3=1{,}67\times10^{-11}\) kg/m³, όγκος \(V=M/\rho=2\times10^{30}/1{,}67\times10^{-11}=1{,}2\times10^{41}\) m³, άρα \(R=(3V/4\pi)^{1/3}\approx3{,}1\times10^{13}\) m.

\(T_{\text{νέα}}=T\left(\dfrac{R_\odot}{R}\right)^2=3{,}16\times10^{10}\,\text{s}\times\left(\dfrac{7\times10^8}{3{,}1\times10^{13}}\right)^2\approx16\)–17 s.

Σωστή απάντηση: (α) 0,57

Διαφορά 2 μεγεθών: λόγος λαμπροτήτων \(10^{0{,}4\cdot2}=6{,}31\). Ο αστέρας είναι λαμπρότερος στη μέγιστη θερμοκρασία.

\(\dfrac{L_1}{L_2}=\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2\left(\dfrac{6000}{5000}\right)^4\Rightarrow\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2=\dfrac{6{,}31}{2{,}07}=3{,}04\Rightarrow\dfrac{R_1}{R_2}=1{,}74\).

Άρα \(R_{T_\max}/R_{T_\min}=1{,}74\). Οι επιλογές δίνουν τον αντίστροφο λόγο, \(R_{T_\min}/R_{T_\max}=1/1{,}74=0{,}57\): η εκφώνηση εννοεί τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη ακτίνα.

Σωστή απάντηση: (ε) 39 φορές

Διαφορά 4 μεγεθών: \(10^{0{,}4\cdot4}=10^{1{,}6}\approx39{,}8\).

Σωστή απάντηση: (γ) \(7\times10^4\) kg

Ο Ήλιος χάνει \(3\times10^{-14}\cdot2\times10^{30}=6\times10^{16}\) kg/έτος, δηλαδή \(1{,}6\times10^{14}\) kg/ημέρα.

Η Γη «πιάνει» το κλάσμα \(\dfrac{\pi R_\oplus^2}{4\pi d^2}=\dfrac{(6{,}4\times10^6)^2}{4\,(1{,}5\times10^{11})^2}\approx4{,}6\times10^{-10}\) του ηλιακού ανέμου.

\(1{,}6\times10^{14}\times4{,}6\times10^{-10}\approx7\times10^{4}\) kg ανά ημέρα.

Σωστή απάντηση: (δ) 5 φορές

Η φαινόμενη (γωνιακή) διάμετρος είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης. Από 5,2 AU ο Ήλιος φαίνεται 5,2 φορές μικρότερος σε διάμετρο από ό,τι από τη Γη (1 AU), δηλαδή περίπου 5 φορές.

Σωστή απάντηση: (ε) \(10^{11}\) ηλιακές μάζες

Για κυκλική τροχιά: \(\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{GM}{r^2}\Rightarrow M=\dfrac{v^2r}{G}=\dfrac{(2{,}2\times10^5)^2\cdot2{,}6\times10^{20}}{6{,}67\times10^{-11}}\approx1{,}9\times10^{41}\) kg.

\(M/M_\odot\approx1{,}9\times10^{41}/2\times10^{30}\approx10^{11}\).

Σωστή απάντηση: (δ) 4000 m/s

Ακτίνα τροχιάς \(r=R+3R=4R\). \(v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=\sqrt{\dfrac{gR^2}{4R}}=\sqrt{\dfrac{gR}{4}}=\sqrt{\dfrac{10\cdot6{,}4\times10^6}{4}}=4000\) m/s.

Σωστή απάντηση: (α) \(-mgR_\oplus/8\)

Μηχανική ενέργεια κυκλικής τροχιάς: \(E=-\dfrac{GMm}{2r}\). Με \(GM=gR^2\) και \(r=4R\): \(E=-\dfrac{gR^2m}{8R}=-\dfrac{mgR}{8}\).

Σωστή απάντηση: (α) \(7mgR_\oplus/8\)

Στην επιφάνεια (ακίνητος, αγνοώντας την περιστροφή) η ενέργεια είναι \(E_0=-\dfrac{GMm}{R}=-mgR\).

Η ενέργεια που δαπανήθηκε: \(W=E-E_0=-\dfrac{mgR}{8}+mgR=\dfrac{7mgR}{8}\).

Σωστή απάντηση: (α) \(\Delta t=\dfrac{5T_\oplus T_\delta}{12(T_\oplus-T_\delta)}\)

Ο δορυφόρος φαίνεται όσο απέχει γωνιακά από τον τόπο λιγότερο από \(\theta\), με \(\cos\theta=R/r=1/4\), δηλαδή \(\theta\approx5\pi/12\). Το τόξο ορατότητας είναι \(2\theta=5\pi/6\).

Για r = 4R η περίοδος είναι περίπου 11 ώρες, μικρότερη από τη μέρα, οπότε ο δορυφόρος «προπορεύεται» του παρατηρητή με σχετική γωνιακή ταχύτητα \(\omega=\dfrac{2\pi}{T_\delta}-\dfrac{2\pi}{T_\oplus}=2\pi\dfrac{T_\oplus-T_\delta}{T_\oplus T_\delta}\).

\(\Delta t=\dfrac{5\pi/6}{\omega}=\dfrac{5T_\oplus T_\delta}{12(T_\oplus-T_\delta)}\).

Σωστή απάντηση: (ε) διαφεύγει από το βαρυτικό πεδίο της Γης

Διατήρηση ορμής: \(mv=\tfrac m2(-v)+\tfrac m2v_2\Rightarrow v_2=3v\).

Η ταχύτητα διαφυγής στο ίδιο ύψος είναι \(\sqrt2\,v\approx1{,}41v\). Αφού \(3v>\sqrt2\,v\), το δεύτερο κομμάτι ξεφεύγει.

Σωστή απάντηση: (α) 4,52

\(M=m-5\log_{10}\dfrac{D}{10\,\text{pc}}=5{,}49-5\log_{10}1{,}561=5{,}49-0{,}97=4{,}52\).

Σωστή απάντηση: (γ) \(1{,}3\,L_\odot\)

\(\dfrac{L}{L_\odot}=10^{0{,}4(M_\odot-M)}=10^{0{,}4(4{,}83-4{,}52)}=10^{0{,}124}\approx1{,}33\).

Σωστή απάντηση: (β) \(1{,}2\,R_\odot\)

\(L=4\pi R^2\sigma T^4\Rightarrow\dfrac{R}{R_\odot}=\sqrt{\dfrac{L}{L_\odot}}\left(\dfrac{T_\odot}{T}\right)^2=\sqrt{1{,}33}\left(\dfrac{5780}{5570}\right)^2=1{,}15\times1{,}08\approx1{,}24\).

Σωστή απάντηση: (ε) 0,064

\(p=1/D=1/15{,}61=0{,}064″\).

Σωστή απάντηση: (δ) 520

Νόμος του Wien: \(\lambda_\max=\dfrac{2{,}898\times10^{-3}}{5570}=5{,}2\times10^{-7}\) m \(=520\) nm. (Το «μέγιστο μήκος κύματος» εννοεί το μήκος κύματος της μέγιστης εκπομπής.)

Σωστή απάντηση: (γ) 460 φορές

Η ροή είναι ανάλογη του \(L/a^2\): \(\dfrac{F}{F_\oplus}=\dfrac{L/L_\odot}{(a/1\,\text{AU})^2}=\dfrac{1{,}3}{0{,}053^2}\approx460\).

Σωστή απάντηση: (α) στον αστερισμό του Σκορπιού

Στην πανσέληνο η Σελήνη είναι απέναντι από τον Ήλιο. Ο αστερισμός της εκλειπτικής απέναντι από τον Ταύρο είναι ο Σκορπιός, άρα ο Ήλιος βρισκόταν εκεί.

Σωστή απάντηση: (δ) Ανλιτάκ, Ανλιλάμ, Μιντάκα

Η «ζώνη» του Ωρίωνα αποτελείται από τους Alnitak (ζ), Alnilam (ε) και Mintaka (δ). Οι Μπετελγκέζ, Ρίγκελ και Σάιφ είναι οι «γωνίες» του αστερισμού και οι Άλιοθ, Ντούμπε, Μέρακ ανήκουν στη Μεγάλη Άρκτο.

Σωστή απάντηση: (δ) Τελευταίο τέταρτο

Στον τετραγωνισμό η Σελήνη απέχει \(90^\circ\) από τον Ήλιο. Αν βρίσκεται \(90^\circ\) δυτικά του Ήλιου, ανατέλλει 6 ώρες πριν από αυτόν, δηλαδή περίπου τα μεσάνυχτα: αυτό είναι το τελευταίο τέταρτο.