1η φάση 2015, Λύκειο: θέματα και λύσεις

(Α) Μέθοδοι: (1) ακτινικών ταχυτήτων (Doppler): ο πλανήτης κάνει τον αστέρα να «ταλαντεύεται», και οι γραμμές του φάσματος μετατοπίζονται περιοδικά· (2) διάβασης· (3) άμεσης απεικόνισης, με κορωνογράφους· (4) βαρυτικού μικροφακού· (5) αστρομετρίας, από τη μετατόπιση της θέσης του αστέρα· (6) χρονισμού πάλσαρ.

Μέθοδος της διάβασης: όταν η τροχιά φαίνεται σχεδόν «από την κόψη», ο πλανήτης περνά περιοδικά μπροστά από τον δίσκο του αστέρα και κρύβει ένα μικρό μέρος του. Η λαμπρότητα πέφτει κατά \(\Delta F/F\approx(R_p/R_*)^2\): περίπου 1% για έναν πλανήτη σαν τον Δία μπροστά σε αστέρα σαν τον Ήλιο, μόνο 0,008% για μια Γη. Από το βάθος βρίσκουμε την ακτίνα του πλανήτη, από τον χρόνο ανάμεσα στις διαβάσεις την περίοδο και, με τον 3ο νόμο του Kepler, την απόσταση. Μαζί με τις ακτινικές ταχύτητες (που δίνουν μάζα) βρίσκουμε την πυκνότητα. Με αυτή τη μέθοδο το διαστημικό τηλεσκόπιο Kepler ανακάλυψε χιλιάδες εξωπλανήτες.

(Β) Η ερώτηση είναι ανοιχτή· δεκτό είναι κάθε όνομα που τηρεί τους έξι κανόνες και αιτιολογείται. Παράδειγμα για έναν θερμό αέριο γίγαντα πολύ κοντά στο άστρο του: «Thermopolis-b» (13 χαρακτήρες). Θυμίζει τις ελληνικές λέξεις θερμός και πόλις, γράφεται με λατινικούς χαρακτήρες, προφέρεται εύκολα, και το «-b» ακολουθεί τη διεθνή σύμβαση για τον πρώτο πλανήτη που βρίσκεται γύρω από ένα άστρο. Πριν προτείνεις όνομα, έλεγξε ότι δεν το έχει ήδη άλλο ουράνιο σώμα (π.χ. η Εστία είναι ήδη αστεροειδής).

Ο X βρίσκεται στην εξωτερική τροχιά, με ακτίνα 3 φορές μεγαλύτερη από του Ψ. Σε 5 έτη διέγραψε \(90^\circ\), δηλαδή \(1/4\) της τροχιάς, άρα \(T_X=20\) έτη.

Από τον 3ο νόμο του Kepler (ίδιο κεντρικό άστρο): \(\dfrac{T_X^2}{T_Ψ^2}=\left(\dfrac{r_X}{r_Ψ}\right)^3=27\Rightarrow T_Ψ=\dfrac{20}{\sqrt{27}}=\dfrac{20}{5{,}20}\approx3{,}85\) έτη.

Σε 5 έτη ο Ψ κάνει \(5/3{,}85\approx1{,}30\) περιφορές: μία πλήρη και άλλο \(0{,}30\times360^\circ\approx108^\circ\). Άρα βρίσκεται περίπου \(108^\circ\) αριστερόστροφα από την αρχική του θέση, δηλαδή περίπου \(18^\circ\) πιο πέρα από την ευθεία άστρου–X.

Η ενέργεια δορυφόρου σε κυκλική τροχιά ακτίνας \(r\) είναι \(E=-\dfrac{GMm}{2r}\).

Αρχική τροχιά: \(r_1=6{,}38\times10^6+2{,}8\times10^5=6{,}66\times10^{6}\) m. Γεωσύγχρονη τροχιά: η περίοδος είναι μία αστρική ημέρα, \(T=86\,164\) s, άρα \[r_2=\left(\dfrac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}=\left(\dfrac{3{,}99\times10^{14}\cdot(86\,164)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}\approx4{,}22\times10^{7}\ \text{m}.\]

Η ενέργεια που πρέπει να δώσουν οι μηχανές: \[\Delta E=\dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac1{r_1}-\dfrac1{r_2}\right)=\dfrac{3{,}99\times10^{14}\cdot470}{2}\left(1{,}50\times10^{-7}-2{,}37\times10^{-8}\right)\approx1{,}2\times10^{10}\ \text{J}.\]

(Α) Από το μέτρο απόστασης \(d=10^{(m-M+5)/5}\) pc: για τον Α, \(d=10^{(0{,}4-2{,}68+5)/5}=10^{0{,}544}\approx3{,}5\) pc· για τον Β, \(d=10^{(10{,}7-13+5)/5}=10^{0{,}54}\approx3{,}5\) pc. Βρίσκονται στην ίδια απόσταση και στην ίδια διεύθυνση, άρα σχηματίζουν φυσικό ζεύγος.

(Β) Αφού απέχουν το ίδιο, ο λόγος των λαμπροτήτων ισούται με τον λόγο των ροών: \[\dfrac{L_B}{L_\odot}=\dfrac{L_A}{L_\odot}\cdot\dfrac{F_B}{F_A}=10\times\dfrac{1{,}46\times10^{-12}}{2{,}06\times10^{-8}}\approx7\times10^{-4}.\] (Από το απόλυτο μέγεθος, \(10^{0{,}4(4{,}83-13)}\approx5\times10^{-4}\): τα δεδομένα του πίνακα δεν είναι απολύτως συνεπή, αλλά η τάξη μεγέθους είναι ίδια.)

(Γ) \(\dfrac{R_B}{R_\odot}=\sqrt{\dfrac{L_B}{L_\odot}}\left(\dfrac{T_\odot}{T_B}\right)^2=\sqrt{7\times10^{-4}}\left(\dfrac{5780}{7500}\right)^2\approx0{,}026\times0{,}59\approx0{,}016\), περίπου 1,7 ακτίνες Γης.

(Δ) Ο Α (6500 K, 10 \(L_\odot\)) βρίσκεται στην κύρια ακολουθία ή λίγο πάνω της: αστέρας τύπου F, σε αρχή εξέλιξης προς υπογίγαντα. Ο Β (7500 K, \(7\times10^{-4}\,L_\odot\)) βρίσκεται κάτω αριστερά, πολύ κάτω από την κύρια ακολουθία: είναι λευκός νάνος. Τα δεδομένα αντιστοιχούν στο σύστημα του Προκύονα (Προκύων Α και Β), σε απόσταση 3,5 pc.

α–Β: οι υπερκαινοφανείς είναι εκρηκτικοί μεταβλητοί. β: οι αστέρες σαν τον Ήλιο δεν είναι μεταβλητοί (η λαμπρότητα του Ηλίου αλλάζει μόνο κατά περίπου 0,1% στον κύκλο των 11 ετών), οπότε δεν αντιστοιχίζονται. γ–Α: οι Κηφείδες είναι παλλόμενοι μεταβλητοί. δ–Β: οι καινοφανείς είναι εκρηκτικοί μεταβλητοί (εκρήξεις στην επιφάνεια λευκού νάνου σε διπλό σύστημα).

Η άσκηση γίνεται με το Stellarium, οπότε οι ακριβείς τιμές βγαίνουν από τις παρατηρήσεις σου. Αναμενόμενες τιμές και τρόπος:

(Α) Παρακολουθείς ένα χαρακτηριστικό του δίσκου, π.χ. τη Μεγάλη Ερυθρά Κηλίδα: σημειώνεις πότε περνά από το κέντρο του δίσκου και πόση ώρα χρειάζεται για να διανύσει, ας πούμε, το μισό πλάτος του δίσκου (ένα τέταρτο της περιστροφής). Η περίοδος περιστροφής του Δία βγαίνει περίπου 10 ώρες (9 h 55 min).

(Β) Σημειώνεις τη στιγμή που ο Γανυμήδης (ή η σκιά του) ακουμπά για πρώτη φορά το χείλος του δίσκου και τη στιγμή που τον εγκαταλείπει. Η διαφορά είναι η διάρκεια της διάβασης· για τον Γανυμήδη είναι μερικές ώρες. Ένας έλεγχος: ο Γανυμήδης κινείται με περίπου \(2\pi\cdot1{,}07\times10^6\,\text{km}/(7{,}15\times24\,\text{h})\approx39\,000\) km/h, άρα για να διασχίσει τον δίσκο του Δία (143 000 km) από το κέντρο του χρειάζεται περίπου 3,8 h· αν περνά πιο κοντά στο χείλος, λιγότερο.

(Γ) Περιγράφεις τις ενέργειες: ρύθμιση τόπου και ώρας, ζουμ, σταθεροποίηση στον Δία, επιτάχυνση του χρόνου, και καταγραφή των ωρών επαφής και διέλευσης της κηλίδας.

(Δ) Με μεγάλο ζουμ μετράς στην οθόνη (με χάρακα ή με το εργαλείο μέτρησης γωνιών) τη διάμετρο του δίσκου του Δία και τη διάμετρο του Γανυμήδη ή της σκιάς του, και διαιρείς. Ο λόγος βγαίνει περίπου 27 (142 984 km προς 5268 km).