3η φάση «Ίππαρχος» 2017, Λύκειο, Θέμα 3: εκφώνηση και λύση

Το θέμα 3 της 3ης φάσης («Ίππαρχος») 2017 για το Λύκειο, 22ος διαγωνισμός. Είναι θέμα της κατηγορίας «Ουράνια μηχανική» (θεματική: Νόμοι του Kepler και τροχιές, Βαρύτητα και ταχύτητα διαφυγής), με εκτιμώμενη δυσκολία «δύσκολο». Πρώτα προσπάθησε μόνος σου. Αν κολλήσεις, πάρε μια υπόδειξη ή δες τη λύση.

εκφώνηση

Ρώτα τον Ερατοσθένη

Πριν πεις «Το έλυσα»: έλεγξε τη λύση σου

Αιτιολόγησα κάθε βήμα, όχι μόνο το αποτέλεσμα;
Βρήκα όλες τις λύσεις και εξέτασα όλες τις περιπτώσεις;
Έλεγξα μονάδες, τάξη μεγέθους και ότι η απάντηση ικανοποιεί τις συνθήκες;
Θα την καταλάβαινε κάποιος που δεν ξέρει τη λύση;

Λύση του αρχείου

Χρησιμοποιούμε $R = 1737$ km και $g = GM / R^{2} = 1, 62$ m/s² για τη Σελήνη. Το περισελήνιο είναι στην επιφάνεια, $r_{π} = R$ , και το αποσελήνιο $r_{α} = R + 6 R = 7 R$ . Ο μεγάλος ημιάξονας είναι $α = 4 R$ .

(Α) $T = 2 π \frac{α ^{3}}{GM} = 2 π \frac{64 R ^{3}}{g R ^{2}} = 16 π \frac{R}{g} = 16 π \frac{1 , 737 \times 1 0 ^{6}}{1 , 62} \approx 5, 2 \times 1 0^{4}$ s $\approx 14, 5$ h.

(Β) $e = \frac{r _{α} - r _{π}}{r _{α} + r _{π}} = \frac{6 R}{8 R} = 0, 75$ .

(Γ) Από τη διατήρηση της ενέργειας με $E = - \frac{GM m}{2 α}$ : $\frac{1}{2} v^{2} - \frac{GM}{R} = - \frac{GM}{8 R} \Rightarrow v = \frac{7}{4} g R = 1, 75 \cdot 1, 62 \cdot 1, 737 \times 1 0^{6} \approx 2, 2$ km/s, οριζόντια (εφαπτομενικά στην επιφάνεια).

(Δ) Στο αποσελήνιο, από τη διατήρηση της στροφορμής: $v_{α} = v \frac{r _{π}}{r _{α}} = \frac{2219}{7} \approx 317$ m/s. Η ταχύτητα διαφυγής εκεί είναι $v_{δ} = \frac{2 GM}{7 R} = \frac{2 g R}{7} \approx 897$ m/s. Η ελάχιστη ώθηση δίνεται στη διεύθυνση της κίνησης: \[J=m(v_\delta-v_\alpha)=1\times(897-317)\approx580\ \text{kg·m/s}.\]

Δεν υπάρχει επίσημη λύση για αυτό το θέμα. Τη λύση την έγραψε η επιμέλεια του αρχείου· αν βρεις λάθος, γράψε μας.

Κατηγορία: Ουράνια μηχανική · Θεματική: Νόμοι του Kepler και τροχιές, Βαρύτητα και ταχύτητα διαφυγής, Διαστημική · Δυσκολία: δύσκολο. Η κατηγορία και η δυσκολία είναι εκτιμήσεις.

σχετική θεωρία

τα άλλα θέματα του ίδιου διαγωνίσματος

3η φάση 2017, θέμα 1 Ουράνια σφαίρα και χρόνος
3η φάση 2017, θέμα 2 Αστέρες και ακτινοβολία
3η φάση 2017, θέμα 4 Ηλιακό σύστημα
3η φάση 2017, θέμα 5 Αστέρες και ακτινοβολία

παρόμοια θέματα

3η φάση 2015, Λύκειο, θέμα 2 μέτριο
3η φάση 2011, Λύκειο, θέμα 4 εύκολο
3η φάση 2017, Γυμνάσιο, θέμα 2 πολύ εύκολο
1η φάση 2011, Λύκειο, θέμα 7 δύσκολο
1η φάση 2016, Λύκειο, θέμα 13 μέτριο
1η φάση 2016, Λύκειο, θέμα 29 μέτριο