Οι νόμοι του Kepler: θεωρία για τον Διαγωνισμό Αστρονομίας

Τρεις απλοί νόμοι περιγράφουν κάθε τροχιά γύρω από ένα κεντρικό σώμα: πλανήτες, κομήτες, δορυφόρους, διπλούς αστέρες.

τα βασικά

1ος νόμος: οι πλανήτες κινούνται σε ελλείψεις με τον Ήλιο σε μία εστία. Περιήλιο \(r_\pi=a(1-e)\), αφήλιο \(r_\alpha=a(1+e)\).
2ος νόμος: η επιβατική ακτίνα σαρώνει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους. Στο περιήλιο και στο αφήλιο: \(v_\pi r_\pi=v_\alpha r_\alpha\).
3ος νόμος (στη μορφή του Newton): \(P^2=\dfrac{4\pi^2a^3}{G(M+m)}\).
Σε μονάδες έτη, AU και ηλιακές μάζες: \(P^2=\dfrac{a^3}{M+m}\).
Για σώματα γύρω από την ίδια κεντρική μάζα ο λόγος \(P^2/a^3\) είναι ίδιος: συχνά αρκεί σύγκριση με τη Γη ή τη Σελήνη.

παράδειγμα

Ένας κομήτης έχει περιήλιο 0,6 AU και αφήλιο 35 AU. Ποια είναι η περίοδός του;

Λύση. Ο μεγάλος ημιάξονας είναι \(a=(0{,}6+35)/2=17{,}8\) AU, οπότε \(P=a^{3/2}=17{,}8\sqrt{17{,}8}\approx17{,}8\times4{,}22\approx75\) έτη, όσο περίπου του κομήτη του Halley.

συχνό λάθος

Στον 3ο νόμο μπαίνει ο μεγάλος ημιάξονας \(a\), όχι η απόσταση στο περιήλιο ή στο αφήλιο. Και η μορφή \(P^2=a^3\) ισχύει μόνο για έτη, AU και ηλιακές μάζες.

θέματα για εξάσκηση

Άνοιξε το φύλλο στην εφαρμογή