3η φάση «Ίππαρχος» 2017, Λύκειο, Θέμα 2: εκφώνηση και λύση

(Α) Στη φωτογραφία, η κύρια μάζα του σμήνους καλύπτει περίπου το 60% του πλάτους, δηλαδή περίπου $0,6\times 0,25^{\circ }=0,15^{\circ }=2,6\times 10^{-3}$ rad. Η διάμετρος είναι \[D_{\text{σμ}}\approx4634\ \text{pc}\times2{,}6\times10^{-3}\approx12\ \text{pc}.\] Η τιμή εξαρτάται από το πού θεωρεί κανείς ότι τελειώνει το σμήνος· κάθε εκτίμηση γύρω στα 10–20 pc είναι λογική.

(Β) Ο αστέρας με το βέλος, στο σημείο όπου το σμήνος αφήνει την κύρια ακολουθία, έχει από το διάγραμμα φαινόμενο μέγεθος περίπου $m\approx 18,6$ (θερμοκρασία περίπου 5750 K). Χωρίς απορρόφηση: \[M=m-5\log_{10}\dfrac{4634}{10}=18{,}6-13{,}3\approx5{,}3.\]

(Γ) Ο αστέρας αυτός βρίσκεται στο σημείο στροφής: μόλις τώρα τελειώνει την παραμονή του στην κύρια ακολουθία, άρα ο χρόνος ζωής του ισούται με την ηλικία του σμήνους. Λαμπρότητα: $\frac{L}{L_{\odot }}=10^{0,4(4,83-5,3)}\approx 0,66$. Μάζα, από $L\propto M^{3,8}$: $\frac{M}{M_{\odot }}=0,66^{1/3,8}\approx 0,90$. Με τον Ήλιο να ζει περίπου 10 δισεκατομμύρια χρόνια στην κύρια ακολουθία: \[t\approx10^{10}\times0{,}90^{-2{,}8}\approx1{,}3\times10^{10}\ \text{χρόνια}.\] Περίπου 13 δισεκατομμύρια χρόνια, όσο αναμένεται για ένα σφαιρωτό σμήνος.