3η φάση 2017, Λύκειο: θέματα και λύσεις

Η άνω μεσουράνηση δίνει άμεσα και τις δύο συντεταγμένες.

Ορθή αναφορά: το σημείο γ μεσουρανεί όταν ο αστρικός χρόνος είναι \(0^\text{h}\). Ο αστέρας μεσουρανεί 2 αστρικές ώρες αργότερα, όταν \(\text{LST}=2^\text{h}\). Αφού στη μεσουράνηση \(\text{LST}=\alpha\), είναι \(\alpha=2^\text{h}00^\text{m}\).

Απόκλιση: για μεσουράνηση νότια του ζενίθ, \(\upsilon=90^\circ-\varphi+\delta\Rightarrow\delta=69^\circ35'-90^\circ+30^\circ28'=+10^\circ03'\).

Έλεγχος με την ανατολή: με αυτό το \(\delta\), \(\cos H_0=-\tan30^\circ28'\tan10^\circ03'=-0{,}104\), άρα \(H_0\approx96^\circ=6^\text{h}24^\text{m}\), και ο αστέρας θα ανέτελλε σε αστρικό χρόνο \(\alpha-H_0=19^\text{h}36^\text{m}\). Αυτό δεν συμφωνεί με το \(2^\text{h}24^\text{m}\) της εκφώνησης· τα δεδομένα δεν είναι όλα συμβατά μεταξύ τους. Αν κρατήσουμε την ώρα ανατολής και το ύψος (και όχι τις «2 ώρες μετά το γ»), βγαίνει \(\alpha=2^\text{h}24^\text{m}+6^\text{h}24^\text{m}=8^\text{h}48^\text{m}\) και πάλι \(\delta=+10^\circ03'\). Η απόκλιση πάντως δεν επηρεάζεται.

(Α) Στη φωτογραφία, η κύρια μάζα του σμήνους καλύπτει περίπου το 60% του πλάτους, δηλαδή περίπου \(0{,}6\times0{,}25^\circ=0{,}15^\circ=2{,}6\times10^{-3}\) rad. Η διάμετρος είναι \[D_{\text{σμ}}\approx4634\ \text{pc}\times2{,}6\times10^{-3}\approx12\ \text{pc}.\] Η τιμή εξαρτάται από το πού θεωρεί κανείς ότι τελειώνει το σμήνος· κάθε εκτίμηση γύρω στα 10–20 pc είναι λογική.

(Β) Ο αστέρας με το βέλος, στο σημείο όπου το σμήνος αφήνει την κύρια ακολουθία, έχει από το διάγραμμα φαινόμενο μέγεθος περίπου \(m\approx18{,}6\) (θερμοκρασία περίπου 5750 K). Χωρίς απορρόφηση: \[M=m-5\log_{10}\dfrac{4634}{10}=18{,}6-13{,}3\approx5{,}3.\]

(Γ) Ο αστέρας αυτός βρίσκεται στο σημείο στροφής: μόλις τώρα τελειώνει την παραμονή του στην κύρια ακολουθία, άρα ο χρόνος ζωής του ισούται με την ηλικία του σμήνους. Λαμπρότητα: \(\dfrac{L}{L_\odot}=10^{0{,}4(4{,}83-5{,}3)}\approx0{,}66\). Μάζα, από \(L\propto M^{3{,}8}\): \(\dfrac{M}{M_\odot}=0{,}66^{1/3{,}8}\approx0{,}90\). Με τον Ήλιο να ζει περίπου 10 δισεκατομμύρια χρόνια στην κύρια ακολουθία: \[t\approx10^{10}\times0{,}90^{-2{,}8}\approx1{,}3\times10^{10}\ \text{χρόνια}.\] Περίπου 13 δισεκατομμύρια χρόνια, όσο αναμένεται για ένα σφαιρωτό σμήνος.

Χρησιμοποιούμε \(R=1737\) km και \(g=GM/R^2=1{,}62\) m/s² για τη Σελήνη. Το περισελήνιο είναι στην επιφάνεια, \(r_\pi=R\), και το αποσελήνιο \(r_\alpha=R+6R=7R\). Ο μεγάλος ημιάξονας είναι \(\alpha=4R\).

(Α) \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{\alpha^3}{GM}}=2\pi\sqrt{\dfrac{64R^3}{gR^2}}=16\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}=16\pi\sqrt{\dfrac{1{,}737\times10^6}{1{,}62}}\approx5{,}2\times10^{4}\) s \(\approx14{,}5\) h.

(Β) \(e=\dfrac{r_\alpha-r_\pi}{r_\alpha+r_\pi}=\dfrac{6R}{8R}=0{,}75\).

(Γ) Από τη διατήρηση της ενέργειας με \(E=-\dfrac{GMm}{2\alpha}\): \(\tfrac12v^2-\dfrac{GM}{R}=-\dfrac{GM}{8R}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac74gR}=\sqrt{1{,}75\cdot1{,}62\cdot1{,}737\times10^6}\approx2{,}2\) km/s, οριζόντια (εφαπτομενικά στην επιφάνεια).

(Δ) Στο αποσελήνιο, από τη διατήρηση της στροφορμής: \(v_\alpha=v\,\dfrac{r_\pi}{r_\alpha}=\dfrac{2219}{7}\approx317\) m/s. Η ταχύτητα διαφυγής εκεί είναι \(v_\delta=\sqrt{\dfrac{2GM}{7R}}=\sqrt{\dfrac{2gR}{7}}\approx897\) m/s. Η ελάχιστη ώθηση δίνεται στη διεύθυνση της κίνησης: \[J=m(v_\delta-v_\alpha)=1\times(897-317)\approx580\ \text{kg·m/s}.\]

Για πλανήτη με αστρική περίοδο \(P\) (σε έτη): \(\dfrac1S=\left|1-\dfrac1P\right|\). Θέλουμε \(S>2\), δηλαδή \(\left|1-\dfrac1P\right|<\dfrac12\Rightarrow\dfrac12<\dfrac1P<\dfrac32\Rightarrow\dfrac23

Από τον 3ο νόμο του Kepler, \(a=P^{2/3}\) AU: \[a_\min=\left(\tfrac23\right)^{2/3}\approx0{,}76\ \text{AU},\qquad a_\max=2^{2/3}\approx1{,}59\ \text{AU}.\] Μεγάλη συνοδική περίοδο έχουν όσοι πλανήτες κινούνται κοντά στη Γη, γιατί η Γη τους «προσπερνά» αργά. Από τους πραγματικούς πλανήτες, ο Άρης (1,52 AU) βρίσκεται μέσα στο διάστημα και έχει \(S\approx2{,}1\) έτη. Η Αφροδίτη (0,72 AU) είναι λίγο έξω από αυτό και έχει \(S\approx1{,}6\) έτη.

Από τον πίνακα, B2V: \(M_V=-2{,}7\)· M3III: \(M_V=-0{,}5\). Οι αποστάσεις (χωρίς απορρόφηση): \[d_1=10^{(5{,}6+2{,}7+5)/5}=10^{2{,}66}\approx460\ \text{pc},\qquad d_2=10^{(2{,}9+0{,}5+5)/5}=10^{1{,}68}\approx48\ \text{pc}.\] Οι δύο αστέρες απέχουν από εμάς πολύ διαφορετικές αποστάσεις, άρα δεν αποτελούν φυσικό διπλό σύστημα· απλώς φαίνονται κοντά στην ίδια διεύθυνση (οπτικά διπλό). Ακόμη και με μεσοαστρική απορρόφηση, θα χρειαζόταν περίπου 5 μεγέθη για να έρθει ο B2V στα 48 pc, κάτι εξαιρετικά απίθανο τόσο κοντά.