3η φάση «Ίππαρχος» 2016, Λύκειο, Θέμα 4: εκφώνηση και λύση

Το θέμα 4 της 3ης φάσης («Ίππαρχος») 2016 για το Λύκειο, 21ος διαγωνισμός. Είναι θέμα της κατηγορίας «Ουράνια μηχανική» (θεματική: Διπλά συστήματα και εξωπλανήτες, Βαρύτητα και ταχύτητα διαφυγής), με εκτιμώμενη δυσκολία «πολύ δύσκολο». Πρώτα προσπάθησε μόνος σου. Αν κολλήσεις, πάρε μια υπόδειξη ή δες τη λύση.

εκφώνηση

Ρώτα τον Ερατοσθένη

Πριν πεις «Το έλυσα»: έλεγξε τη λύση σου

Αιτιολόγησα κάθε βήμα, όχι μόνο το αποτέλεσμα;
Βρήκα όλες τις λύσεις και εξέτασα όλες τις περιπτώσεις;
Έλεγξα μονάδες, τάξη μεγέθους και ότι η απάντηση ικανοποιεί τις συνθήκες;
Θα την καταλάβαινε κάποιος που δεν ξέρει τη λύση;

Λύση του αρχείου

(α) Για δύο σώματα που περιφέρονται γύρω από το κέντρο μάζας τους: $ω^{2} = \frac{G ( m _{1} + m _{2} )}{R ^{3}} \Rightarrow m_{1} + m_{2} = \frac{ω ^{2} R _{1}^{3}}{G} = \frac{32 , 6 6 ^{2} \cdot ( 1 0 ^{6} ) ^{3}}{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11}} \approx 1, 6 \times 1 0^{31}$ kg. Κάθε σώμα έχει $m = 8 \times 1 0^{30}$ kg $= 4 M_{⊙}$ .

Λευκός νάνος δεν μπορεί να είναι: η μάζα ξεπερνά το όριο Chandrasekhar (1,4 $M_{⊙}$ ) και οι λευκοί νάνοι έχουν ακτίνες χιλιάδων km, ενώ εδώ τα κέντρα απέχουν μόνο 1000 km. Ούτε αστέρας νετρονίων: η μέγιστη μάζα τους είναι περίπου 2–3 $M_{⊙}$ . Άρα είναι μελανές οπές (ακτίνα Schwarzschild $2 G m / c^{2} \approx 12$ km).

(β) Η ενέργεια του συστήματος σε κυκλική τροχιά απόστασης $R$ είναι $E = - \frac{G m ^{2}}{2 R}$ . \[E_1=-\dfrac{6{,}67\times10^{-11}(8\times10^{30})^2}{2\times10^6}\approx-2{,}1\times10^{45}\ \text{J},\qquad E_2=-2{,}1\times10^{46}\ \text{J}.\] Η ενέργεια που ακτινοβολήθηκε είναι $∣ E_{2} - E_{1} ∣ \approx 1, 9 \times 1 0^{46}$ J, οπότε \[\Delta t=\dfrac{1{,}9\times10^{46}}{10^{32}}\approx1{,}9\times10^{14}\ \text{s}\approx6\ \text{εκατομμύρια έτη}.\]

Δεν υπάρχει επίσημη λύση για αυτό το θέμα. Τη λύση την έγραψε η επιμέλεια του αρχείου· αν βρεις λάθος, γράψε μας.

Κατηγορία: Ουράνια μηχανική, Αστέρες και ακτινοβολία · Θεματική: Διπλά συστήματα και εξωπλανήτες, Βαρύτητα και ταχύτητα διαφυγής, Εξέλιξη των αστέρων · Δυσκολία: πολύ δύσκολο. Η κατηγορία και η δυσκολία είναι εκτιμήσεις.

σχετική θεωρία

τα άλλα θέματα του ίδιου διαγωνίσματος

3η φάση 2016, θέμα 1 Ουράνια σφαίρα και χρόνος
3η φάση 2016, θέμα 2 Αστέρες και ακτινοβολία
3η φάση 2016, θέμα 3 Γαλαξίες και κοσμολογία
3η φάση 2016, θέμα 5 Γαλαξίες και κοσμολογία

παρόμοια θέματα

3η φάση 2010, Λύκειο, θέμα 5 πολύ δύσκολο
3η φάση 2015, Λύκειο, θέμα 3 δύσκολο
2η φάση 2017, Λύκειο, θέμα 3 δύσκολο
1η φάση 2015, Λύκειο, θέμα 4 δύσκολο
1η φάση 2011, Λύκειο, θέμα 4 δύσκολο
1η φάση 2018, Λύκειο, θέμα 2 εύκολο