3η φάση 2016, Λύκειο: θέματα και λύσεις

Ο αστέρας μεσουρανεί «εκατέρωθεν του ζενίθ»: την άνω μεσουράνηση τη βλέπουμε νότια του ζενίθ και την κάτω βόρεια, κάτω από τον πόλο. Τότε \[\upsilon_1=90^\circ-\varphi+\delta,\qquad\upsilon_2=\varphi+\delta-90^\circ.\]

Αφαιρώντας: \(\upsilon_1-\upsilon_2=180^\circ-2\varphi\), άρα \[\varphi=\dfrac{180^\circ-\upsilon_1+\upsilon_2}{2}=\dfrac{180^\circ-38^\circ52'+12^\circ24'}{2}=\dfrac{153^\circ32'}{2}=76^\circ46'.\] Επίσης \(\delta=\upsilon_1-90^\circ+\varphi=25^\circ38'\). Έλεγχος: \(\delta>90^\circ-\varphi=13^\circ14'\), άρα ο αστέρας είναι πράγματι αειφανής, και \(\delta<\varphi\), άρα η άνω μεσουράνηση είναι νότια του ζενίθ.

Προσοχή: αν και οι δύο μεσουρανήσεις ήταν βόρεια του ζενίθ, θα παίρναμε \(\varphi=(\upsilon_1+\upsilon_2)/2=25^\circ38'\) και \(\delta=76^\circ46'\): οι τιμές αντιστρέφονται. Η φράση «εκατέρωθεν του ζενίθ» δείχνει την πρώτη περίπτωση.

(α) Αφού η διαστολή είναι σταθερή, η ηλικία είναι η σημερινή γωνιακή ακτίνα διά τον ρυθμό αύξησης: \[t=\dfrac{3{,}37\times60''}{0{,}21''/\text{έτος}}=\dfrac{202{,}2}{0{,}21}\approx963\ \text{έτη}.\] Από το 2016, η έκρηξη παρατηρήθηκε περίπου το 1053. Πράγματι, οι Κινέζοι αστρονόμοι κατέγραψαν τον υπερκαινοφανή το 1054.

(β) Η γραμμική ακτίνα του νεφελώματος είναι \(r=vt=1300\ \text{km/s}\times963\times3{,}156\times10^7\ \text{s}\approx3{,}95\times10^{13}\) km. Η απόσταση: \[d=\dfrac{r}{\tan\varphi}=\dfrac{3{,}95\times10^{13}}{0{,}00098}\approx4{,}0\times10^{16}\ \text{km}\approx1300\ \text{pc}\approx4300\ \text{έτη φωτός}.\]

(γ) \(m=M+5\log_{10}\dfrac{d}{10\ \text{pc}}=-18+5\log_{10}130\approx-18+10{,}6=-7{,}4\) (αγνοώντας την απορρόφηση). Ήταν λαμπρότερος από την Αφροδίτη· οι πηγές αναφέρουν ότι φαινόταν και την ημέρα για περίπου τρεις εβδομάδες.

(α) Στο σχήμα: ο μακρινός γαλαξίας (πηγή), ο γαλαξίας-φακός ανάμεσα και η Γη πάνω στην ίδια ευθεία. Η βαρύτητα του φακού καμπυλώνει τις ακτίνες που περνούν γύρω του προς τα μέσα, και ο παρατηρητής βλέπει το φως να έρχεται από έναν κύκλο γύρω από τον φακό: το δαχτυλίδι του Einstein.

(β) Ο τύπος της ακτίνας του δαχτυλιδιού είναι \(\theta^2=\dfrac{4GM(D_S-D_L)}{c^2D_SD_L}\) (το θ εμφανίζεται στο τετράγωνο· χωρίς αυτό η μάζα θα έβγαινε παράλογα μεγάλη). Με \(D_L=8\times10^9\) ly, \(D_S=12\times10^9\) ly και \(\theta=1{,}75''=8{,}48\times10^{-6}\) rad: \[M=\dfrac{\theta^2c^2}{4G}\cdot\dfrac{D_SD_L}{D_S-D_L}=\dfrac{(8{,}48\times10^{-6})^2(3\times10^8)^2}{4\cdot6{,}67\times10^{-11}}\cdot2{,}4\times10^{10}\ \text{ly}\cdot9{,}46\times10^{15}\ \tfrac{\text{m}}{\text{ly}}\approx5{,}5\times10^{42}\ \text{kg}\] δηλαδή περίπου \(3\times10^{12}\) ηλιακές μάζες, μια λογική μάζα για μεγάλο ελλειπτικό γαλαξία μαζί με τη σκοτεινή ύλη του. (Σε κοσμολογικές αποστάσεις η απλή αφαίρεση \(D_S-D_L\) είναι προσέγγιση.)

(γ) Για να φανεί ο δακτύλιος και όχι ένα σημείο, πρέπει να ξεχωρίζει η ακτίνα του, 1,75″: \[D=\dfrac{1{,}22\lambda}{\theta}=\dfrac{1{,}22\cdot5\times10^{-7}}{8{,}48\times10^{-6}}\approx0{,}07\ \text{m}=7\ \text{cm}.\] Στην πράξη, από τη Γη η αναταραχή της ατμόσφαιρας (περίπου 1″) και η μικρή λαμπρότητα του ειδώλου κάνουν την παρατήρηση πολύ πιο δύσκολη.

(α) Για δύο σώματα που περιφέρονται γύρω από το κέντρο μάζας τους: \(\omega^2=\dfrac{G(m_1+m_2)}{R^3}\Rightarrow m_1+m_2=\dfrac{\omega^2R_1^3}{G}=\dfrac{32{,}66^2\cdot(10^6)^3}{6{,}67\times10^{-11}}\approx1{,}6\times10^{31}\) kg. Κάθε σώμα έχει \(m=8\times10^{30}\) kg \(=4\,M_\odot\).

Λευκός νάνος δεν μπορεί να είναι: η μάζα ξεπερνά το όριο Chandrasekhar (1,4 \(M_\odot\)) και οι λευκοί νάνοι έχουν ακτίνες χιλιάδων km, ενώ εδώ τα κέντρα απέχουν μόνο 1000 km. Ούτε αστέρας νετρονίων: η μέγιστη μάζα τους είναι περίπου 2–3 \(M_\odot\). Άρα είναι μελανές οπές (ακτίνα Schwarzschild \(2Gm/c^2\approx12\) km).

(β) Η ενέργεια του συστήματος σε κυκλική τροχιά απόστασης \(R\) είναι \(E=-\dfrac{Gm^2}{2R}\). \[E_1=-\dfrac{6{,}67\times10^{-11}(8\times10^{30})^2}{2\times10^6}\approx-2{,}1\times10^{45}\ \text{J},\qquad E_2=-2{,}1\times10^{46}\ \text{J}.\] Η ενέργεια που ακτινοβολήθηκε είναι \(|E_2-E_1|\approx1{,}9\times10^{46}\) J, οπότε \[\Delta t=\dfrac{1{,}9\times10^{46}}{10^{32}}\approx1{,}9\times10^{14}\ \text{s}\approx6\ \text{εκατομμύρια έτη}.\]

(α) Για κάθε αστέρα: \(M=-2{,}78\log_{10}P-1{,}35\) και \(D=10^{(m-M+5)/5}\) pc. 1: \(P=39\), \(M=-5{,}77\), \(D\approx1{,}81\times10^7\) pc. 2: \(P=29\), \(M=-5{,}42\), \(D\approx2{,}40\times10^7\) pc. 3: \(P=30\), \(M=-5{,}46\), \(D\approx2{,}52\times10^7\) pc. 4: \(P=26\), \(M=-5{,}28\), \(D\approx2{,}25\times10^7\) pc. 5: \(P=25\), \(M=-5{,}24\), \(D\approx1{,}44\times10^7\) pc.

(β) Με 1 pc = 3,26 ly: ο κοντινότερος είναι ο 5, περίπου 47 εκατομμύρια έτη φωτός, και ο πιο απόμακρος ο 3, περίπου 82 εκατομμύρια έτη φωτός.

(γ) Όχι. Ο Γαλαξίας μας έχει διάμετρο περίπου 100 000 έτη φωτός, ενώ οι Κηφείδες απέχουν δεκάδες εκατομμύρια έτη φωτός: βρίσκονται σε άλλους γαλαξίες.

(δ) Οι Κηφείδες τύπου Ι βρίσκονται στις σπείρες, άρα αναζητούμε σπειροειδείς γαλαξίες (με ή χωρίς ράβδο) με αποστάσεις 47–82 εκατομμύρια έτη φωτός. Από τον κατάλογο ταιριάζουν στις υπολογισμένες αποστάσεις οι M77 (47 Mly) και M108 (46 Mly) για τον αστέρα 5, ο M90 (56–62 Mly) για τον 1, και ο M91 (47–79 Mly) και ο M109 (60–108 Mly) για τους 2, 3 και 4. Αυτοί είναι οι πέντε πιθανότεροι. Σημείωση: οι αποστάσεις του καταλόγου έχουν μεγάλα εύρη, οπότε δεκτές είναι και άλλες καλά αιτιολογημένες επιλογές, π.χ. οι M88 ή M99 για τον αστέρα 5· η εκφώνηση δεν δίνει αρκετά στοιχεία για μοναδική απάντηση.

(ε) Ενδεικτικά: M31, ο γαλαξίας της Ανδρομέδας· M33, ο γαλαξίας του Τριγώνου· M51, η Δίνη (Whirlpool)· M104, το Σομπρέρο· M101, ο Τροχός (Pinwheel)· M64, το Μαύρο Μάτι· M81, ο γαλαξίας του Bode· M87, η Παρθένος Α.