2η φάση «Αρίσταρχος» 2017, Λύκειο, Θέμα 3: εκφώνηση και λύση

Α) Τρίτος νόμος του Kepler σε έτη, AU και ηλιακές μάζες: $P^2=\frac{d^3}{M_A+M_B}=\frac{40^3}{6,4}=10000\Rightarrow P=100$ έτη.

Β) Όταν φαίνονται και οι δύο αστέρες: L_\max=L_A+L_B=4\pi R^2\sigma\left(T_A^4+T_B^4\right).

Γ) Κύρια έκλειψη (το βαθύτερο ελάχιστο) γίνεται όταν κρύβεται ο θερμότερος αστέρας B. Επειδή οι ακτίνες είναι ίσες και το επίπεδο της τροχιάς περνά από τη Γη, η έκλειψη είναι ολική και φαίνεται μόνο ο A: \[\Delta m=2{,}5\log_{10}\dfrac{T_A^4+T_B^4}{T_A^4}=2{,}5\log_{10}\left[1+\left(\dfrac{12000}{5000}\right)^4\right]=2{,}5\log_{10}34{,}2\approx3{,}8\ \text{μεγέθη}.\]

Δ) Δευτερεύουσα έκλειψη, όταν κρύβεται ο ψυχρότερος A: \[\Delta m=2{,}5\log_{10}\left[1+\left(\dfrac{5000}{12000}\right)^4\right]=2{,}5\log_{10}1{,}030\approx0{,}03\ \text{μεγέθη}.\] Η δευτερεύουσα έκλειψη είναι σχεδόν αόρατη, γιατί ο ψυχρός αστέρας δίνει μόνο το 3% του φωτός.