3η φάση «Ίππαρχος» 2015, Λύκειο, Θέμα 3: εκφώνηση και λύση

(3α) Με ίσες μάζες, το κέντρο μάζας είναι στο μέσο, και κάθε αστέρας κινείται σε κύκλο ακτίνας $d/2$. Η έλξη είναι η κεντρομόλος: \[\dfrac{Mv^2}{d/2}=\dfrac{GM^2}{d^2}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{GM}{2d}}=\sqrt{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot2\times10^{30}}{2\cdot7\times10^{9}}}\approx9{,}8\times10^{4}\ \text{m/s}\approx98\ \text{km/s}.\] Η περίοδος: $T=\frac{2\pi (d/2)}{v}=\frac{\pi d}{v}=\frac{\pi \cdot 7\times 10^9}{9,8\times 10^4}\approx 2,25\times 10^5$ s $\approx 62,6$ h $\approx 2,6$ ημέρες.

(3β) Οι δύο αστέρες κινούνται αντίθετα, οπότε η σχετική τους ταχύτητα είναι $2v$. Η έκλειψη αρχίζει όταν οι δίσκοι μόλις ακουμπούν (κέντρα σε προβαλλόμενη απόσταση $2R$) και τελειώνει όταν ξαναχωρίζουν στην άλλη πλευρά: σχετική μετατόπιση $4R$. Αφού $d=10R$, η κίνηση στη διάρκεια της έκλειψης είναι σχεδόν ευθύγραμμη: \[\Delta t\approx\dfrac{4R}{2v}=\dfrac{2{,}8\times10^9}{1{,}95\times10^5}\approx1{,}4\times10^4\ \text{s}\approx4\ \text{h}.\]

(3γ) Η καμπύλη φωτός είναι σταθερή στο μέγιστο, με δύο ελάχιστα ανά περίοδο, σε απόσταση μισής περιόδου (31,3 h) και διάρκειας περίπου 4 h το καθένα. Με ίσες ακτίνες τα ελάχιστα έχουν σχήμα V (η έκλειψη είναι ολική μόνο μια στιγμή). Με $T_1=1,5T_2$ ο αστέρας 1 είναι $1,5^4\approx 5$ φορές λαμπρότερος: όταν κρύβεται αυτός, η λαμπρότητα πέφτει στο $1/6$ (κύριο ελάχιστο, περίπου 2 μεγέθη)· όταν κρύβεται ο 2, πέφτει στα $5/6$ (δευτερεύον, περίπου 0,2 μεγέθη).