3η φάση «Ίππαρχος» 2016, Λύκειο, Θέμα 3: εκφώνηση και λύση

(α) Στο σχήμα: ο μακρινός γαλαξίας (πηγή), ο γαλαξίας-φακός ανάμεσα και η Γη πάνω στην ίδια ευθεία. Η βαρύτητα του φακού καμπυλώνει τις ακτίνες που περνούν γύρω του προς τα μέσα, και ο παρατηρητής βλέπει το φως να έρχεται από έναν κύκλο γύρω από τον φακό: το δαχτυλίδι του Einstein.

(β) Ο τύπος της ακτίνας του δαχτυλιδιού είναι ${\theta }^2=\frac{4GM(D_S-D_L)}{c^2{D}_S{D}_L}$ (το θ εμφανίζεται στο τετράγωνο· χωρίς αυτό η μάζα θα έβγαινε παράλογα μεγάλη). Με $D_L=8\times 10^9$ ly, $D_S=12\times 10^9$ ly και $\theta =1,75^{\prime \prime }=8,48\times 10^{-6}$ rad: \[M=\dfrac{\theta^2c^2}{4G}\cdot\dfrac{D_SD_L}{D_S-D_L}=\dfrac{(8{,}48\times10^{-6})^2(3\times10^8)^2}{4\cdot6{,}67\times10^{-11}}\cdot2{,}4\times10^{10}\ \text{ly}\cdot9{,}46\times10^{15}\ \tfrac{\text{m}}{\text{ly}}\approx5{,}5\times10^{42}\ \text{kg}\] δηλαδή περίπου $3\times 10^{12}$ ηλιακές μάζες, μια λογική μάζα για μεγάλο ελλειπτικό γαλαξία μαζί με τη σκοτεινή ύλη του. (Σε κοσμολογικές αποστάσεις η απλή αφαίρεση $D_S-D_L$ είναι προσέγγιση.)

(γ) Για να φανεί ο δακτύλιος και όχι ένα σημείο, πρέπει να ξεχωρίζει η ακτίνα του, 1,75″: \[D=\dfrac{1{,}22\lambda}{\theta}=\dfrac{1{,}22\cdot5\times10^{-7}}{8{,}48\times10^{-6}}\approx0{,}07\ \text{m}=7\ \text{cm}.\] Στην πράξη, από τη Γη η αναταραχή της ατμόσφαιρας (περίπου 1″) και η μικρή λαμπρότητα του ειδώλου κάνουν την παρατήρηση πολύ πιο δύσκολη.