3η φάση 2015, Λύκειο: θέματα και λύσεις

(1α) Από \(m=M+5\log_{10}(d/10)\) με \(M=3\): για 5 pc, \(m=1{,}49\)· για 10 pc, \(m=3{,}00\)· για 15 pc, \(m=3{,}88\)· για 20 pc, \(m=4{,}51\)· για 50 pc, \(m=6{,}49\)· για 100 pc, \(m=8{,}00\).

(1β) Η καμπύλη ανεβαίνει γρήγορα στις μικρές αποστάσεις και πιο αργά μετά, γιατί το \(m\) αυξάνεται λογαριθμικά με την απόσταση (κάθε διπλασιασμός προσθέτει 1,5 μεγέθη).

(1γ) Από το διάγραμμα, \(m=5\) αντιστοιχεί σε απόσταση περίπου 25 pc. Έλεγχος με τον τύπο: \(d=10\times10^{(5-3)/5}=10\times10^{0{,}4}\approx25\) pc.

(2α) Μεγάλος ημιάξονας: \(a=\dfrac{31{,}5+0{,}5}{2}=16\) AU. Τρίτος νόμος του Kepler: \(T=a^{3/2}=16^{3/2}=64\) έτη.

(2β) Μικρός ημιάξονας: \(b=\sqrt{r_\pi r_\alpha}=\sqrt{0{,}5\times31{,}5}\approx3{,}97\) AU. Το εμβαδόν της έλλειψης είναι \(E=\pi ab=\pi\times16\times3{,}97\approx200\) AU². Από τον 2ο νόμο του Kepler, η επιβατική ακτίνα σαρώνει όλη την έλλειψη σε μία περίοδο με σταθερό ρυθμό: \[\dfrac{E}{T}=\dfrac{200}{64}\approx3{,}1\ \text{AU}^2/\text{έτος}.\]

(2γ) Ένας κομήτης που «πέφτει» από το νέφος του Oort ξεκινά από το αφήλιο (35 000 AU) και φτάνει πολύ κοντά στον Ήλιο, οπότε ο μεγάλος άξονας είναι περίπου 35 000 AU και \(a\approx17\,500\) AU. Η περίοδος είναι \(T=a^{3/2}\approx2{,}3\times10^{6}\) έτη. Από το αφήλιο στο περιήλιο χρειάζεται μισή περίοδο: περίπου 1,2 εκατομμύρια χρόνια.

(3α) Με ίσες μάζες, το κέντρο μάζας είναι στο μέσο, και κάθε αστέρας κινείται σε κύκλο ακτίνας \(d/2\). Η έλξη είναι η κεντρομόλος: \[\dfrac{Mv^2}{d/2}=\dfrac{GM^2}{d^2}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{GM}{2d}}=\sqrt{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot2\times10^{30}}{2\cdot7\times10^{9}}}\approx9{,}8\times10^{4}\ \text{m/s}\approx98\ \text{km/s}.\] Η περίοδος: \(T=\dfrac{2\pi(d/2)}{v}=\dfrac{\pi d}{v}=\dfrac{\pi\cdot7\times10^9}{9{,}8\times10^4}\approx2{,}25\times10^{5}\) s \(\approx62{,}6\) h \(\approx2{,}6\) ημέρες.

(3β) Οι δύο αστέρες κινούνται αντίθετα, οπότε η σχετική τους ταχύτητα είναι \(2v\). Η έκλειψη αρχίζει όταν οι δίσκοι μόλις ακουμπούν (κέντρα σε προβαλλόμενη απόσταση \(2R\)) και τελειώνει όταν ξαναχωρίζουν στην άλλη πλευρά: σχετική μετατόπιση \(4R\). Αφού \(d=10R\), η κίνηση στη διάρκεια της έκλειψης είναι σχεδόν ευθύγραμμη: \[\Delta t\approx\dfrac{4R}{2v}=\dfrac{2{,}8\times10^9}{1{,}95\times10^5}\approx1{,}4\times10^4\ \text{s}\approx4\ \text{h}.\]

(3γ) Η καμπύλη φωτός είναι σταθερή στο μέγιστο, με δύο ελάχιστα ανά περίοδο, σε απόσταση μισής περιόδου (31,3 h) και διάρκειας περίπου 4 h το καθένα. Με ίσες ακτίνες τα ελάχιστα έχουν σχήμα V (η έκλειψη είναι ολική μόνο μια στιγμή). Με \(T_1=1{,}5T_2\) ο αστέρας 1 είναι \(1{,}5^4\approx5\) φορές λαμπρότερος: όταν κρύβεται αυτός, η λαμπρότητα πέφτει στο \(1/6\) (κύριο ελάχιστο, περίπου 2 μεγέθη)· όταν κρύβεται ο 2, πέφτει στα \(5/6\) (δευτερεύον, περίπου 0,2 μεγέθη).

(4α) Αν το είδωλο του Ήλιου φαίνεται στον πυθμένα του πηγαδιού, ο Ήλιος βρίσκεται ακριβώς στο ζενίθ τη στιγμή της μεσουράνησης. Τότε \(h=90^\circ\), οπότε \(90^\circ=90^\circ-\varphi+\delta\Rightarrow\varphi=\delta=+23{,}4^\circ\): ο τόπος βρίσκεται στον Τροπικό του Καρκίνου (όπως η Συήνη του Ερατοσθένη).

(4β) Στις 21 Ιουνίου, το μεσημέρι σε \(\varphi=53^\circ\): \(h=90^\circ-53^\circ+23{,}4^\circ=60{,}4^\circ\). Για να πέφτουν οι ακτίνες κάθετα στο πάνελ, η κλίση του ως προς το έδαφος πρέπει να είναι το συμπλήρωμα του ύψους: \(90^\circ-60{,}4^\circ\approx29{,}6^\circ\), με το πάνελ στραμμένο προς τον Νότο.

Απαντήσεις: 1 Σ, 2 Λ, 3 Σ, 4 Σ, 5 Λ, 6 Σ, 7 Σ, 8 Σ, 9 Λ, 10 Λ

1: ένα κβάζαρ εκπέμπει από περιοχή μικρότερη από το ηλιακό μας σύστημα ενέργεια ίση με εκατοντάδες έως χιλιάδες γαλαξίες. 2: η ενέργεια ενός ενεργού πυρήνα προέρχεται από την ύλη που πέφτει σε υπερμεγέθη μαύρη τρύπα (δίσκος προσαύξησης), όχι από αστέρες. 3: αυτό είναι το φαινόμενο του βαρυτικού φακού. 4: οι τροχιές των πλανητών που φαίνονται με γυμνό μάτι έχουν κλίσεις έως περίπου \(7^\circ\) (Ερμής) και της Σελήνης περίπου \(5^\circ\), γι’ αυτό όλοι κινούνται κοντά στην εκλειπτική. 5: οι κηλίδες εμφανίζονται, εξελίσσονται και χάνονται μέσα σε ημέρες ή εβδομάδες, με κύκλο 11 ετών.

6: είναι μια χρήσιμη αναλογία: οι κηλίδες είναι περιοχές με έντονο μαγνητικό πεδίο, όπως οι καταιγίδες είναι περιοχές έντονης ατμοσφαιρικής δραστηριότητας, και οι εκλάμψεις είναι απότομες εκρήξεις ενέργειας, όπως οι κεραυνοί. 7: εκτός ατμόσφαιρας δεν υπάρχουν απορρόφηση και αναταραχή του αέρα (παρότι σήμερα η προσαρμοστική οπτική βελτιώνει πολύ τα επίγεια τηλεσκόπια). 8: η ουρά ιόντων σπρώχνεται από τον ηλιακό άνεμο και η ουρά σκόνης από την πίεση της ακτινοβολίας, γι’ αυτό οι ουρές δείχνουν μακριά από τον Ήλιο. 9: το ψηλότερο βουνό του ηλιακού συστήματος είναι το Όλυμπος στον Άρη (περίπου 22 km πάνω από τη γύρω πεδιάδα)· ψηλότερη, κατά ορισμένες μετρήσεις, είναι η κεντρική κορυφή του κρατήρα Rheasilvia στον αστεροειδή Εστία. 10: το Clementine (1994) χαρτογράφησε τη Σελήνη από τροχιά· δεν προσεδαφίστηκε.