2η φάση «Αρίσταρχος» 2016, Γυμνάσιο, Θέμα 5: εκφώνηση και λύση

(Α) Νόμος Titius–Bode: $a=0,4+0,3\cdot 2^n$ AU, με $n=2$ για τον Άρη: $a=0,4+1,2=1,6$ AU (η πραγματική τιμή είναι 1,52 AU). Από τον 3ο νόμο του Kepler: $T=a^{3/2}=1,6^{3/2}\approx 2,0$ έτη (πραγματική: 1,88 έτη).

(Β) I. Στον τετραγωνισμό η γωνία Ήλιος–Γη–Άρης είναι $90^{\circ }$: ο Ήλιος, η Γη και ο Άρης σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία στη Γη και υποτείνουσα την απόσταση Ήλιου–Άρη.

II. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα: $d=\sqrt{1,6^2-1^2}=\sqrt{1,56}\approx 1,25$ AU $\approx 1,87\times 10^8$ km. Το ραδιοσήμα χρειάζεται $t=d/c\approx 1,87\times 10^8/3\times 10^5\approx 624$ s, περίπου 10,4 λεπτά. (Με την πραγματική απόσταση 1,52 AU βγαίνει περίπου 9,5 λεπτά.)

III. Η Γη κινείται γρηγορότερα από τον Άρη και τον «προσπερνά». Αν στο σχήμα ο Άρης είναι σε δυτικό τετραγωνισμό (φαίνεται τα ξημερώματα), η Γη πλησιάζει την ευθεία Ήλιου–Άρη από την ίδια πλευρά, οπότε η επόμενη θέση είναι αντίθεση. Αν είναι σε ανατολικό τετραγωνισμό (φαίνεται το βράδυ), η Γη απομακρύνεται και η επόμενη θέση είναι σύνοδος. Η απάντηση εξαρτάται από το ποιον από τους δύο τετραγωνισμούς σχεδίασες.