2η φάση 2016, Γυμνάσιο: θέματα και λύσεις

Απαντήσεις: 1 Β, 2 Δ, 3 Ε, 4 Δ, 5 Γ, 6 Γ, 7 Ε, 8 Δ, 9 Α, 10 Ε

1: η περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της. 2: ο Ουρανός, που ανακαλύφθηκε το 1781· όλοι οι προηγούμενοι πλανήτες φαίνονται με γυμνό μάτι. 3: ο Γανυμήδης (διάμετρος 5268 km) είναι ο μεγαλύτερος δορυφόρος, λίγο μεγαλύτερος από τον Τιτάνα. 4: η ενέργεια του Ηλίου παράγεται από πυρηνική σύντηξη στον πυρήνα του. 5: ο πύραυλος σπρώχνει τα καυσαέρια προς τα πίσω και αυτά τον σπρώχνουν προς τα εμπρός (ισοδύναμα, διατήρηση της ορμής).

6: το Endeavour κατασκευάστηκε για να αντικαταστήσει το Challenger και πέταξε πρώτη φορά το 1992. 7: το New Horizons πέρασε από τον Πλούτωνα τον Ιούλιο του 2015. 8: ο κομήτης του Halley κινείται σε ελλειπτική τροχιά με περίοδο περίπου 76 χρόνια. 9: ο κόρυμβος της κίνησης του Ηλίου βρίσκεται στον Ηρακλή. 10: ο συνοδικός μήνας.

(Α) Η Γη στρέφεται \(15^\circ\) την ώρα, άρα το ημερήσιο τόξο των \(120^\circ\) διανύεται σε \(120/15=8\) ώρες.

(Β) Η μεσουράνηση είναι στη μέση του τόξου: \(18^\text{h}40^\text{m}+4^\text{h}=22^\text{h}40^\text{m}\).

(Γ) Η δύση: \(18^\text{h}40^\text{m}+8^\text{h}=26^\text{h}40^\text{m}\), δηλαδή \(2^\text{h}40^\text{m}\) της επόμενης ημέρας.

(Α) \(R_*\): ο ρυθμός με τον οποίο γεννιούνται αστέρες στον Γαλαξία (αστέρες ανά έτος). \(f_p\): το ποσοστό των αστέρων που έχουν πλανήτες. \(n_e\): ο αριθμός των πλανητών ανά πλανητικό σύστημα με συνθήκες κατάλληλες για ζωή. \(f_l\): το ποσοστό αυτών όπου εμφανίζεται ζωή. \(f_i\): το ποσοστό όπου η ζωή εξελίσσεται σε νοήμονα. \(f_c\): το ποσοστό των νοημόνων πολιτισμών που αναπτύσσουν τεχνολογία επικοινωνίας (π.χ. ραδιοσήματα). \(L\): πόσα χρόνια μένει ένας τέτοιος πολιτισμός ικανός να επικοινωνεί.

(Β) Οι τιμές \(f_l\) και \(f_i\) διαβάζονται ως \(1/1000\). Τότε \[N=5\cdot0{,}5\cdot2\cdot\dfrac{1}{1000}\cdot\dfrac{1}{1000}\cdot1\cdot1000=0{,}005.\] Ο αριθμός είναι μικρότερος από 1: με αυτές τις τιμές, πιθανότατα δεν υπάρχει άλλος πολιτισμός στον Γαλαξία που να επικοινωνεί την ίδια εποχή με εμάς. Το αποτέλεσμα όμως εξαρτάται εντελώς από τις τιμές που υποθέτουμε για \(f_l\), \(f_i\) και \(L\), που κανείς δεν γνωρίζει: με άλλες λογικές υποθέσεις το \(N\) βγαίνει από πολύ κάτω από 1 έως χιλιάδες. Γι’ αυτό η εξίσωση Drake δείχνει κυρίως τι δεν ξέρουμε.

1 Αντάρης–Δ (Σκορπιός)· 2 Χαμάλ–Θ (Κριός)· 3 Θουμπάν–Ζ (Δράκων)· 4 Αλιόθ–Α (Μεγάλη Άρκτος)· 5 Ντενέμπ–ΙΑ (Κύκνος)· 6 Αλντεμπαράν–Ε (Ταύρος)· 7 Πολυδεύκης–Ι (Δίδυμοι)· 8 Στάχυς–ΣΤ (Παρθένος)· 9 Αλτάιρ–Γ (Αετός)· 10 Προκύων–Η (Μικρός Κύων). Η Μικρή Άρκτος και ο Τοξότης περισσεύουν. Ο Θουμπάν ήταν ο «πολικός αστέρας» την εποχή που χτίζονταν οι πυραμίδες της Αιγύπτου, λόγω της μετάπτωσης.

(Α) Νόμος Titius–Bode: \(a=0{,}4+0{,}3\cdot2^n\) AU, με \(n=2\) για τον Άρη: \(a=0{,}4+1{,}2=1{,}6\) AU (η πραγματική τιμή είναι 1,52 AU). Από τον 3ο νόμο του Kepler: \(T=a^{3/2}=1{,}6^{3/2}\approx2{,}0\) έτη (πραγματική: 1,88 έτη).

(Β) I. Στον τετραγωνισμό η γωνία Ήλιος–Γη–Άρης είναι \(90^\circ\): ο Ήλιος, η Γη και ο Άρης σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία στη Γη και υποτείνουσα την απόσταση Ήλιου–Άρη.

II. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα: \(d=\sqrt{1{,}6^2-1^2}=\sqrt{1{,}56}\approx1{,}25\) AU \(\approx1{,}87\times10^{8}\) km. Το ραδιοσήμα χρειάζεται \(t=d/c\approx1{,}87\times10^8/3\times10^5\approx624\) s, περίπου 10,4 λεπτά. (Με την πραγματική απόσταση 1,52 AU βγαίνει περίπου 9,5 λεπτά.)

III. Η Γη κινείται γρηγορότερα από τον Άρη και τον «προσπερνά». Αν στο σχήμα ο Άρης είναι σε δυτικό τετραγωνισμό (φαίνεται τα ξημερώματα), η Γη πλησιάζει την ευθεία Ήλιου–Άρη από την ίδια πλευρά, οπότε η επόμενη θέση είναι αντίθεση. Αν είναι σε ανατολικό τετραγωνισμό (φαίνεται το βράδυ), η Γη απομακρύνεται και η επόμενη θέση είναι σύνοδος. Η απάντηση εξαρτάται από το ποιον από τους δύο τετραγωνισμούς σχεδίασες.