3η φάση «Ίππαρχος» 2017, Γυμνάσιο, Θέμα 3: εκφώνηση και λύση

Το θέμα 3 της 3ης φάσης («Ίππαρχος») 2017 για το Γυμνάσιο, 22ος διαγωνισμός. Είναι θέμα της κατηγορίας «Ουράνια μηχανική» (θεματική: Βαρύτητα και ταχύτητα διαφυγής, Ανατολή, δύση, μεσουράνηση), με εκτιμώμενη δυσκολία «δύσκολο». Πρώτα προσπάθησε μόνος σου. Αν κολλήσεις, πάρε μια υπόδειξη ή δες τη λύση.

εκφώνηση

Ρώτα τον Ερατοσθένη

Πριν πεις «Το έλυσα»: έλεγξε τη λύση σου

Αιτιολόγησα κάθε βήμα, όχι μόνο το αποτέλεσμα;
Βρήκα όλες τις λύσεις και εξέτασα όλες τις περιπτώσεις;
Έλεγξα μονάδες, τάξη μεγέθους και ότι η απάντηση ικανοποιεί τις συνθήκες;
Θα την καταλάβαινε κάποιος που δεν ξέρει τη λύση;

Λύση του αρχείου

(Α) Η υπόδειξη δίνει $v = GM / r$ . Με $GM = g R^{2}$ : $r = \frac{g R ^{2}}{v ^{2}} = \frac{10 \cdot ( 6 , 4 \times 1 0 ^{6} ) ^{2}}{( 4 \times 1 0 ^{3} ) ^{2}} = 2, 56 \times 1 0^{7} m = 4 R$ . Το ύψος είναι $H = r - R = 3 R$ .

(Β) $T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \cdot 2 , 56 \times 1 0 ^{7}}{4000} \approx 4, 0 \times 1 0^{4} s \approx 11, 2$ ώρες.

(Γ) Ο παρατηρητής βλέπει τον δορυφόρο όσο αυτός βρίσκεται πάνω από τον ορίζοντα, δηλαδή την εφαπτομένη της Γης στον τόπο του. Στο σχήμα: κέντρο της Γης Ο, παρατηρητής Π, δορυφόρος Δ πάνω στον ορίζοντα. Το τρίγωνο ΟΠΔ είναι ορθογώνιο στο Π, με $cos θ = \frac{R}{4 R} = \frac{1}{4}$ , άρα $θ \approx 7 5^{\circ}$ . Ο δορυφόρος φαίνεται από τη μία ως την άλλη θέση στον ορίζοντα, δηλαδή σε τόξο $2 θ = 15 0^{\circ}$ της τροχιάς του, που διανύεται σε \[\dfrac{150}{360}\times11{,}2\ \text{h}\approx4{,}7\ \text{h}\approx4\ \text{h}\ 40\ \text{min}.\] Ανατέλλει στις 20:00, άρα δύει γύρω στις 00:40.

Δεν υπάρχει επίσημη λύση για αυτό το θέμα. Τη λύση την έγραψε η επιμέλεια του αρχείου· αν βρεις λάθος, γράψε μας.

Κατηγορία: Ουράνια μηχανική · Θεματική: Βαρύτητα και ταχύτητα διαφυγής, Ανατολή, δύση, μεσουράνηση, Διαστημική · Δυσκολία: δύσκολο. Η κατηγορία και η δυσκολία είναι εκτιμήσεις.

σχετική θεωρία

τα άλλα θέματα του ίδιου διαγωνίσματος

3η φάση 2017, θέμα 1 Ηλιακό σύστημα
3η φάση 2017, θέμα 2 Ουράνια μηχανική
3η φάση 2017, θέμα 4 Ουράνια μηχανική

παρόμοια θέματα

3η φάση 2017, Γυμνάσιο, θέμα 4 μέτριο
3η φάση 2013, Γυμνάσιο, θέμα 5 πολύ δύσκολο
3η φάση 2015, Γυμνάσιο, θέμα 3 εύκολο
3η φάση 2009, Λύκειο, θέμα 5 δύσκολο
3η φάση 2011, Λύκειο, θέμα 5 εύκολο
3η φάση 2009, Λύκειο, θέμα 4 εύκολο