3η φάση 2017, Γυμνάσιο: θέματα και λύσεις

Απαντήσεις: 1 Β, 2 Γ, 3 Γ, 4 Γ, 5 Β, 6 Β, 7 Δ, 8 Α, 9 Γ, 10 Α

1: τα δύο Viking προσεδαφίστηκαν στον Άρη το 1976. 2: ο Γανυμήδης (η Μιράντα και ο Όμπερον είναι του Ουρανού, ο Ιαπετός του Κρόνου, ο Δείμος του Άρη). 3: η Αφροδίτη (περιστροφή 243 ημέρες, περιφορά 225). 4: όταν ο Ήλιος ανατέλλει, μεσουρανεί ό,τι απέχει \(90^\circ\) δυτικά του: ο Δίας είναι σε (δυτικό) τετραγωνισμό. 5: η Σελήνη βρίσκεται ανάμεσα σε Ήλιο και Γη.

6: από πανσέληνο σε νέα σελήνη περνά μισός συνοδικός μήνας, περίπου 14,8 ημέρες: από τις 12 Μαρτίου, γύρω στις 26–27 Μαρτίου. 7: ο δορυφόρος COBE (1989). 8: στην ελληνική ορολογία, η ορθή αναφορά και η απόκλιση λέγονται ουρανογραφικές συντεταγμένες (το ωριαίο σύστημα, με ωριαία γωνία και απόκλιση, λέγεται συχνά «ισημερινό»). 9: ο γνώμονας, μια κατακόρυφη ράβδος που ρίχνει σκιά, είναι το αρχαιότερο αστρονομικό όργανο. 10: ο Κονσταντίν Τσιολκόφσκι (αρχές 20ού αιώνα), που διατύπωσε την εξίσωση των πυραύλων.

Ο μεγάλος ημιάξονας είναι το μισό του αθροίσματος αφηλίου και περιηλίου: \(a=\dfrac{4{,}8+0{,}8}{2}=2{,}8\) AU.

Από τον 3ο νόμο του Kepler σε έτη και AU: \(T=a^{3/2}=2{,}8^{3/2}=2{,}8\sqrt{2{,}8}\approx2{,}8\times1{,}67\approx4{,}7\) έτη.

(Α) Η υπόδειξη δίνει \(v=\sqrt{GM/r}\). Με \(GM=gR^2\): \(r=\dfrac{gR^2}{v^2}=\dfrac{10\cdot(6{,}4\times10^6)^2}{(4\times10^3)^2}=2{,}56\times10^{7}\ \text{m}=4R\). Το ύψος είναι \(H=r-R=3R\).

(Β) \(T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot2{,}56\times10^7}{4000}\approx4{,}0\times10^{4}\ \text{s}\approx11{,}2\) ώρες.

(Γ) Ο παρατηρητής βλέπει τον δορυφόρο όσο αυτός βρίσκεται πάνω από τον ορίζοντα, δηλαδή την εφαπτομένη της Γης στον τόπο του. Στο σχήμα: κέντρο της Γης Ο, παρατηρητής Π, δορυφόρος Δ πάνω στον ορίζοντα. Το τρίγωνο ΟΠΔ είναι ορθογώνιο στο Π, με \(\cos\theta=\dfrac{R}{4R}=\dfrac14\), άρα \(\theta\approx75^\circ\). Ο δορυφόρος φαίνεται από τη μία ως την άλλη θέση στον ορίζοντα, δηλαδή σε τόξο \(2\theta=150^\circ\) της τροχιάς του, που διανύεται σε \[\dfrac{150}{360}\times11{,}2\ \text{h}\approx4{,}7\ \text{h}\approx4\ \text{h}\ 40\ \text{min}.\] Ανατέλλει στις 20:00, άρα δύει γύρω στις 00:40.

(Α) Η έλξη Ήλιου–Γης σε απόσταση \(d\) είναι \(\dfrac{GM_\odot M_\oplus}{d^2}\) και η έλξη Γης–Σελήνης \(\dfrac{GM_\oplus M_Σ}{r^2}\), με \(r=384\,000\) km. Για να είναι ίσες: \[d=r\sqrt{\dfrac{M_\odot}{M_Σ}}=384\,000\ \text{km}\times\sqrt{\dfrac{2\times10^{30}}{7{,}35\times10^{22}}}\approx384\,000\times5200\approx2{,}0\times10^{9}\ \text{km}.\]

(Β) Αυτό είναι περίπου \(2{,}0\times10^9/1{,}5\times10^8\approx13\) AU, δηλαδή η Γη θα έπρεπε να είναι 13 φορές μακρύτερα από τον Ήλιο από ό,τι σήμερα: ανάμεσα στις τροχιές του Κρόνου (9,5 AU) και του Ουρανού (19,2 AU).