2η φάση «Αρίσταρχος» 2017, Γυμνάσιο, Θέμα 5: εκφώνηση και λύση

Το θέμα 5 της 2ης φάσης («Αρίσταρχος») 2017 για το Γυμνάσιο, 22ος διαγωνισμός. Είναι θέμα της κατηγορίας «Ουράνια μηχανική» (θεματική: Βαρύτητα και ταχύτητα διαφυγής, Σελήνη, φάσεις και εκλείψεις), με εκτιμώμενη δυσκολία «μέτριο». Πρώτα προσπάθησε μόνος σου. Αν κολλήσεις, πάρε μια υπόδειξη ή δες τη λύση.

εκφώνηση

Ρώτα τον Ερατοσθένη

Πριν πεις «Το έλυσα»: έλεγξε τη λύση σου

Αιτιολόγησα κάθε βήμα, όχι μόνο το αποτέλεσμα;
Βρήκα όλες τις λύσεις και εξέτασα όλες τις περιπτώσεις;
Έλεγξα μονάδες, τάξη μεγέθους και ότι η απάντηση ικανοποιεί τις συνθήκες;
Θα την καταλάβαινε κάποιος που δεν ξέρει τη λύση;

Λύση του αρχείου

(Α) Στο σημείο ισορροπίας, σε απόσταση $x$ από το κέντρο της Γης: $\frac{G \cdot 81 M _{Σ} m}{x ^{2}} = \frac{G M _{Σ} m}{( D - x ) ^{2}} \Rightarrow \frac{9}{x} = \frac{1}{D - x} \Rightarrow x = 0, 9 D = 345600$ km.

(Β) iv) Μειώνεται και στη συνέχεια αυξάνεται. Μέχρι το σημείο ισορροπίας επικρατεί η έλξη της Γης, που επιβραδύνει το σώμα. Μετά από αυτό επικρατεί η έλξη της Σελήνης, που το επιταχύνει. (Το σώμα πρέπει να εκτοξευθεί αρκετά γρήγορα ώστε να φτάσει στο σημείο ισορροπίας με ταχύτητα μεγαλύτερη από μηδέν.)

(Γ) $m_{1} r_{1} = m_{2} r_{2}$ με $r_{1} + r_{2} = D$ : $r_{1} = \frac{m _{2}}{m _{1} + m _{2}} D = \frac{1}{82} \times 384000 \approx 4680$ km από το κέντρο της Γης. Αφού η ακτίνα της Γης είναι 6378 km, το κέντρο μάζας βρίσκεται μέσα στη Γη, περίπου $6378 - 4680 \approx 1700$ km κάτω από την επιφάνεια.

Δεν υπάρχει επίσημη λύση για αυτό το θέμα. Τη λύση την έγραψε η επιμέλεια του αρχείου· αν βρεις λάθος, γράψε μας.

Κατηγορία: Ουράνια μηχανική · Θεματική: Βαρύτητα και ταχύτητα διαφυγής, Σελήνη, φάσεις και εκλείψεις · Δυσκολία: μέτριο. Η κατηγορία και η δυσκολία είναι εκτιμήσεις.

σχετική θεωρία

τα άλλα θέματα του ίδιου διαγωνίσματος

2η φάση 2017, θέμα 1 Ηλιακό σύστημα
2η φάση 2017, θέμα 2 Ηλιακό σύστημα
2η φάση 2017, θέμα 3 Αστέρες και ακτινοβολία
2η φάση 2017, θέμα 4 Ηλιακό σύστημα

παρόμοια θέματα

2η φάση 2014, Γυμνάσιο, θέμα 1 πολύ εύκολο
2η φάση 2014, Λύκειο, θέμα 4 μέτριο
2η φάση 2013, Λύκειο, θέμα 3 μέτριο
2η φάση 2012, Λύκειο, θέμα 4 μέτριο
2η φάση 2016, Λύκειο, θέμα 5 δύσκολο
2η φάση 2011, Λύκειο, θέμα 1 εύκολο