2η φάση 2017, Γυμνάσιο: θέματα και λύσεις

Απαντήσεις: 1 Λ, 2 Λ, 3 Σ, 4 Σ, 5 Λ, 6 Λ, 7 Σ, 8 Λ, 9 Λ, 10 Σ

1: ο στεμματογράφος, που επινόησε ο Bernard Lyot (1930), κρύβει τον δίσκο του Ηλίου για να μελετάμε το ηλιακό στέμμα. 2: η Διώνη είναι δορυφόρος του Κρόνου. 3: η Δήμητρα ταξινομήθηκε ως νάνος πλανήτης το 2006. 4: ο Makemake ανακαλύφθηκε το 2005. 5: σήμερα δεχόμαστε 8 πλανήτες· ο Πλούτωνας είναι νάνος πλανήτης.

6: στην πανσέληνο η Σελήνη βρίσκεται σε αντίθεση· σε σύνοδο είναι στη νέα σελήνη. 7: ο Έλληνας αστρονόμος Ευγένιος Αντωνιάδης, παρατηρώντας τον Άρη με το μεγάλο τηλεσκόπιο του Meudon το 1909, έδειξε ότι οι «διώρυγες» ήταν οπτική ψευδαίσθηση· ήταν από τους πρώτους και ο πιο πειστικός. 8: ο ενδεκαετής κύκλος είναι ο κύκλος της ηλιακής δραστηριότητας (κηλίδες). 9: σε αντίθεση ένας πλανήτης μεσουρανεί τα μεσάνυχτα· στη δύση του Ηλίου ανατέλλει. 10: ο Voyager 2 πέρασε από τον Ποσειδώνα και τον Τρίτωνα το 1989.

Σε αντίθεση, ο Κρόνος και η Γη είναι στην ίδια πλευρά του Ηλίου, οπότε το σκάφος διένυσε \(9{,}54-1=8{,}54\) AU \(=8{,}54\times1{,}5\times10^{8}\approx1{,}28\times10^{9}\) km σε 3 χρόνια. Η ταχύτητά του είναι \(v=\dfrac{1{,}28\times10^9}{3}\approx4{,}27\times10^{8}\) km τον χρόνο (περίπου 13,5 km/s).

Από την εκτόξευση (1977) ως το τέλος του 2016 πέρασαν περίπου 40 χρόνια, άρα \[s=v\,t\approx4{,}27\times10^{8}\times40\approx1{,}7\times10^{10}\ \text{km}\approx114\ \text{AU}.\] Στην πραγματικότητα ο Voyager 1 επιταχύνθηκε από τον Δία και τον Κρόνο (βαρυτική υποβοήθηση) και στο τέλος του 2016 απείχε περίπου 137 AU από τον Ήλιο.

Η απόσταση σε parsec είναι το αντίστροφο της παράλλαξης σε δεύτερα λεπτά τόξου: \(d=\dfrac{1}{0{,}29}\approx3{,}45\) pc.

Σε αστρονομικές μονάδες: \(d\approx3{,}45\times206\,265\approx7{,}1\times10^{5}\) AU. Σε έτη φωτός (1 pc ≈ 3,26 ε.φ.): \(d\approx3{,}45\times3{,}26\approx11{,}2\) έτη φωτός. Ο 61 του Κύκνου ήταν ο πρώτος αστέρας του οποίου μετρήθηκε η παράλλαξη, από τον Bessel το 1838.

Α) Από τον Δία: σε τετραγωνισμό η γωνία Ήλιος–Γη–Δίας είναι \(90^\circ\), οπότε από τον Δία φαίνεται φωτισμένο ακριβώς το μισό του δίσκου της Γης: η Γη είναι σε φάση τετάρτου (μισοφωτισμένη). Από την Αφροδίτη: στην ανώτερη σύνοδο η Αφροδίτη βρίσκεται πίσω από τον Ήλιο, πάνω στην ευθεία Γη–Ήλιος. Από εκεί η Γη φαίνεται απέναντι από τον Ήλιο, άρα πλήρως φωτισμένη: «πανγαία» (όπως η πανσέληνος).

Β) Σε AU: Αφροδίτη 108/150 = 0,72, Δίας 780/150 = 5,2.

Γη–Δίας: ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία στη Γη: \(d_{ΓΔ}=\sqrt{5{,}2^2-1^2}=\sqrt{26{,}04}\approx5{,}10\) AU.

Αφροδίτη–Δίας: με τον Ήλιο στην αρχή των αξόνων, η Γη στο \((1,0)\), η Αφροδίτη στο \((-0{,}72,\,0)\) και ο Δίας στο \((1,\,5{,}10)\): \[d_{ΑΔ}=\sqrt{(1+0{,}72)^2+5{,}10^2}=\sqrt{2{,}96+26{,}04}\approx5{,}39\ \text{AU}.\]

(Α) Στο σημείο ισορροπίας, σε απόσταση \(x\) από το κέντρο της Γης: \(\dfrac{G\cdot81M_Σ\,m}{x^2}=\dfrac{GM_Σ\,m}{(D-x)^2}\Rightarrow\dfrac{9}{x}=\dfrac{1}{D-x}\Rightarrow x=0{,}9D=345\,600\) km.

(Β) iv) Μειώνεται και στη συνέχεια αυξάνεται. Μέχρι το σημείο ισορροπίας επικρατεί η έλξη της Γης, που επιβραδύνει το σώμα. Μετά από αυτό επικρατεί η έλξη της Σελήνης, που το επιταχύνει. (Το σώμα πρέπει να εκτοξευθεί αρκετά γρήγορα ώστε να φτάσει στο σημείο ισορροπίας με ταχύτητα μεγαλύτερη από μηδέν.)

(Γ) \(m_1r_1=m_2r_2\) με \(r_1+r_2=D\): \(r_1=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}D=\dfrac{1}{82}\times384\,000\approx4680\) km από το κέντρο της Γης. Αφού η ακτίνα της Γης είναι 6378 km, το κέντρο μάζας βρίσκεται μέσα στη Γη, περίπου \(6378-4680\approx1700\) km κάτω από την επιφάνεια.