2η φάση «Αρίσταρχος» 2016, Λύκειο, Θέμα 5: εκφώνηση και λύση

Α) Το έργο του κινητήρα είναι $W=F\cdot s=1500\times 10^6=1,5\times 10^9$ J. Η δυναμική ενέργεια στην επιφάνεια της Σελήνης είναι \[U_0=-\dfrac{GM_Σm}{R_Σ}=-\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot7{,}4\times10^{22}\cdot500}{1{,}738\times10^{6}}\approx-1{,}42\times10^{9}\ \text{J}.\] Το σκάφος ξεκινά από την ηρεμία, άρα μετά το τέλος της ώθησης η ολική του ενέργεια ως προς τη Σελήνη είναι $E=W+U_0\approx 1,5\times 10^9-1,42\times 10^9=+8\times 10^7$ J. Αφού $E>0$, το σκάφος ξεφεύγει από τη βαρύτητα της Σελήνης και στη συνέχεια το έλκει η Γη: ναι, φτάνει στη Γη. (Η δύναμη 1500 N είναι μεγαλύτερη από το βάρος στη Σελήνη, $500\times 1,62=810$ N, άρα το σκάφος όντως απογειώνεται.)

Β) Με την παραδοχή της εκφώνησης, το σκάφος φτάνει στο πεδίο της Γης με κινητική ενέργεια $8\times 10^7$ J και κερδίζει από αυτό ενέργεια $G{M}_{\Gamma }m/r$: \[\tfrac12mv^2=8\times10^{7}+\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot6\times10^{24}\cdot500}{7\times10^{6}}=8\times10^{7}+2{,}86\times10^{10}\approx2{,}87\times10^{10}\ \text{J},\] \[v=\sqrt{\dfrac{2\cdot2{,}87\times10^{10}}{500}}\approx1{,}07\times10^{4}\ \text{m/s}\approx10{,}7\ \text{km/s}.\] Αν ληφθεί υπόψη και ότι η Σελήνη απέχει 384 000 km από τη Γη (εκεί η δυναμική ενέργεια ως προς τη Γη είναι $-5,2\times 10^8$ J και όχι μηδέν), το αποτέλεσμα γίνεται περίπου 10,6 km/s: η διαφορά είναι μικρή.