2η φάση 2016, Λύκειο: θέματα και λύσεις

Απαντήσεις: 1 Γ, 2 Α, 3 Β, 4 Γ, 5 Δ, 6 Γ, 7 Δ, 8 Ε, 9 Δ, 10 Β

1: η εκλειπτική. 2: η ωριαία γωνία μετριέται από τον μεσημβρινό του τόπου, στο νότιο σημείο του (τον «ωριαίο του Νότου»), προς τα δυτικά. 3: ο Edwin «Buzz» Aldrin, μετά τον Neil Armstrong, τον Ιούλιο του 1969. 4: η Έριδα είναι νάνος πλανήτης, λίγο μικρότερος από τον Πλούτωνα. 5: η Καμηλοπάρδαλη έχει απόκλιση περίπου \(+53^\circ\) έως \(+86^\circ\)· από την Αθήνα είναι αειφανή τα άστρα με \(\delta>90^\circ-38^\circ=52^\circ\), άρα ο αστερισμός είναι αειφανής.

6: το Μικρό Νέφος του Μαγγελάνου είναι νάνος γαλαξίας, δορυφόρος του δικού μας. 7: η ζενιθία απόσταση μετριέται από το ζενίθ, \(z=90^\circ-h\). 8: από τις επιλογές, μόνο η θεωρία των χορδών είναι θεωρία ενοποίησης· στην πραγματικότητα φιλοδοξεί να ενοποιήσει και τις τέσσερις δυνάμεις, μαζί με τη βαρύτητα. 9: τη θεωρία της σταθερής κατάστασης υποστήριξε ο Fred Hoyle (με τους Bondi και Gold, 1948). 10: ο αστέρας του Barnard είναι ερυθρός νάνος, ο δεύτερος πλησιέστερος αστέρας (μετά το σύστημα του α Κενταύρου) και αυτός με τη μεγαλύτερη ιδία κίνηση.

Α) Κριτήριο του Rayleigh: \(\theta=1{,}22\dfrac{\lambda}{D}\). Η γωνία σε rad: \(\theta=1{,}38''/206\,265=6{,}69\times10^{-6}\) rad. \[D=\dfrac{1{,}22\lambda}{\theta}=\dfrac{1{,}22\cdot550\times10^{-9}}{6{,}69\times10^{-6}}\approx0{,}10\ \text{m}=10\ \text{cm}.\]

Β) Για να ξεχωρίσει το μάτι τα δύο άστρα, η γωνία τους μετά τη μεγέθυνση πρέπει να είναι τουλάχιστον \(2'=120''\). Χρειάζεται μεγέθυνση \(M=120''/1{,}38''\approx87\), οπότε \[f=\dfrac{F}{M}=\dfrac{870\ \text{mm}}{87}=10\ \text{mm}.\] Προσοφθάλμιος με εστιακή απόσταση 10 mm ή μικρότερη.

Σωστή απάντηση: (Α) κατά το χειμερινό ηλιοστάσιο.

Η πανσέληνος βρίσκεται απέναντι από τον Ήλιο. Η τροχιά της Σελήνης έχει κλίση μόνο περίπου \(5^\circ\) ως προς την εκλειπτική, οπότε η απόκλιση της πανσελήνου είναι περίπου αντίθετη από την απόκλιση του Ήλιου.

Στο χειμερινό ηλιοστάσιο ο Ήλιος έχει \(\delta=-23{,}4^\circ\), άρα η πανσέληνος έχει \(\delta\approx+23{,}4^\circ\) (±5°). Το ύψος μεσουράνησης είναι \(h=90^\circ-\varphi+\delta\), οπότε είναι το μεγαλύτερο του χρόνου: για την Αθήνα περίπου \(90^\circ-38^\circ+23{,}4^\circ\approx75^\circ\). Αντίθετα, η καλοκαιρινή πανσέληνος μεσουρανεί χαμηλά, περίπου στις \(28^\circ\). Στις ισημερίες η πανσέληνος έχει \(\delta\approx0^\circ\) και μεσουρανεί σε ενδιάμεσο ύψος, περίπου \(52^\circ\).

Στο σχήμα: ουράνια σφαίρα με ορίζοντα, ισημερινό και τους δύο τροπικούς· ο Ήλιος στον νότιο τροπικό, η πανσέληνος στο αντιδιαμετρικό σημείο, στον βόρειο τροπικό.

Α) Στο σχήμα 1 τα μέγιστα της λαμπρότητας (ελάχιστο μέγεθος, περίπου 3,5) εμφανίζονται στις ημέρες 4 και 12, άρα η περίοδος είναι \(T\approx8\) ημέρες.

Β) Το μέγεθος κυμαίνεται από περίπου 3,5 έως 4,0, άρα η μέση τιμή είναι \(\bar m\approx3{,}75\).

Γ) Στο σχήμα 2 η ευθεία περνά από \(M\approx-1{,}4\) για \(T=1\) ημέρα και \(M\approx-7{,}0\) για \(T=100\) ημέρες, δηλαδή \(M\approx-1{,}4-2{,}8\log_{10}T\). Για \(T=8\): \(M\approx-1{,}4-2{,}8\times0{,}90\approx-3{,}9\).

Δ) Μέτρο απόστασης: \(\bar m-M=3{,}75+3{,}9=7{,}65\), άρα \(d=10^{(7{,}65+5)/5}\approx340\) pc \(\approx1100\) έτη φωτός. Ο δίσκος του Γαλαξία έχει διάμετρο περίπου 30 kpc (100 000 έτη φωτός), οπότε ο αστέρας ανήκει στον Γαλαξία μας. Οι τιμές που διαβάζονται από τα σχήματα έχουν μικρό σφάλμα, αλλά το συμπέρασμα δεν αλλάζει.

Α) Το έργο του κινητήρα είναι \(W=F\cdot s=1500\times10^{6}=1{,}5\times10^{9}\) J. Η δυναμική ενέργεια στην επιφάνεια της Σελήνης είναι \[U_0=-\dfrac{GM_Σm}{R_Σ}=-\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot7{,}4\times10^{22}\cdot500}{1{,}738\times10^{6}}\approx-1{,}42\times10^{9}\ \text{J}.\] Το σκάφος ξεκινά από την ηρεμία, άρα μετά το τέλος της ώθησης η ολική του ενέργεια ως προς τη Σελήνη είναι \(E=W+U_0\approx1{,}5\times10^9-1{,}42\times10^9=+8\times10^{7}\) J. Αφού \(E>0\), το σκάφος ξεφεύγει από τη βαρύτητα της Σελήνης και στη συνέχεια το έλκει η Γη: ναι, φτάνει στη Γη. (Η δύναμη 1500 N είναι μεγαλύτερη από το βάρος στη Σελήνη, \(500\times1{,}62=810\) N, άρα το σκάφος όντως απογειώνεται.)

Β) Με την παραδοχή της εκφώνησης, το σκάφος φτάνει στο πεδίο της Γης με κινητική ενέργεια \(8\times10^7\) J και κερδίζει από αυτό ενέργεια \(GM_Γm/r\): \[\tfrac12mv^2=8\times10^{7}+\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot6\times10^{24}\cdot500}{7\times10^{6}}=8\times10^{7}+2{,}86\times10^{10}\approx2{,}87\times10^{10}\ \text{J},\] \[v=\sqrt{\dfrac{2\cdot2{,}87\times10^{10}}{500}}\approx1{,}07\times10^{4}\ \text{m/s}\approx10{,}7\ \text{km/s}.\] Αν ληφθεί υπόψη και ότι η Σελήνη απέχει 384 000 km από τη Γη (εκεί η δυναμική ενέργεια ως προς τη Γη είναι \(-5{,}2\times10^8\) J και όχι μηδέν), το αποτέλεσμα γίνεται περίπου 10,6 km/s: η διαφορά είναι μικρή.