1η φάση «Εύδοξος» 2011, Γυμνάσιο: θέματα και λύσεις

(α) Η διαστημική εποχή άρχισε στις 4 Οκτωβρίου 1957 με την εκτόξευση του Σπούτνικ 1, του πρώτου τεχνητού δορυφόρου. Ακολούθησαν το Σπούτνικ 2 με τη σκυλίτσα Λάικα (Νοέμβριος 1957) και η πρώτη πτήση ανθρώπου, του Γιούρι Γκαγκάριν, στις 12 Απριλίου 1961.

(β) Κατά τη γνώμη μας, τα μεγαλύτερα κατορθώματα: η προσσελήνωση του Απόλλων 11 (1969), το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble (1990) και ο Διεθνής Διαστημικός Σταθμός, που κατοικείται συνεχώς από το 2000.

(γ) Απόλλων 11. Στις 20 Ιουλίου 1969 η σεληνάκατος «Αετός» προσεδαφίστηκε στη Θάλασσα της Γαλήνης. Ο Νιλ Άρμστρονγκ και ο Μπαζ Όλντριν περπάτησαν στη Σελήνη περίπου δυόμισι ώρες, συνέλεξαν πετρώματα και τοποθέτησαν όργανα. Ο Μάικλ Κόλινς περίμενε σε τροχιά. Ήταν η πρώτη φορά που άνθρωπος πάτησε σε άλλο ουράνιο σώμα.

(α) Έκλειψη Ηλίου έχουμε όταν η Σελήνη περνά ανάμεσα στον Ήλιο και τη Γη (Νέα Σελήνη) και η σκιά της πέφτει στη Γη. Έκλειψη Σελήνης έχουμε όταν η Γη βρίσκεται ανάμεσα στον Ήλιο και τη Σελήνη (Πανσέληνος) και η Σελήνη μπαίνει στη σκιά της Γης. Δεν γίνονται κάθε μήνα, γιατί η τροχιά της Σελήνης έχει κλίση περίπου 5° ως προς την εκλειπτική. Χρειάζεται η Σελήνη να είναι κοντά σε έναν από τους δεσμούς της.

(β) Μερική έκλειψη Ηλίου βλέπουν όσοι βρίσκονται στην παρασκιά της Σελήνης: καλύπτεται μόνο ένα μέρος του ηλιακού δίσκου. Μερική έκλειψη Σελήνης έχουμε όταν μόνο ένα μέρος της Σελήνης μπαίνει στη σκιά της Γης. Στην ολική, ο δίσκος καλύπτεται ολόκληρος: στην ολική ηλιακή φαίνεται το στέμμα και σκοτεινιάζει για λίγα λεπτά, ενώ στην ολική σεληνιακή η Σελήνη παίρνει κόκκινο χρώμα από το φως που διαθλάται στην ατμόσφαιρα της Γης.

(γ) Ναι, τη δακτυλιοειδή έκλειψη Ηλίου. Γίνεται όταν η Σελήνη βρίσκεται κοντά στο απόγειο της τροχιάς της: φαίνεται μικρότερη από τον Ήλιο, δεν τον καλύπτει όλο, και γύρω της μένει ένα φωτεινό δαχτυλίδι. (Υπάρχει και η σπάνια «υβριδική», που σε κάποια σημεία φαίνεται ολική και σε άλλα δακτυλιοειδής.)

Ο Ήλιος βρίσκεται σε μία από τις εστίες της έλλειψης (1ος νόμος του Κέπλερ): είναι το σημείο 3. Η καμπύλη είναι η έλλειψη, 1.

Το περιήλιο είναι το σημείο της τροχιάς πιο κοντά στον Ήλιο: 4. Το αφήλιο, το πιο μακρινό: 2.

Η βαρυτική δύναμη $F=G\frac{Mm}{r^2}$ είναι μέγιστη όταν η απόσταση είναι ελάχιστη, στο περιήλιο (4). Από τον 2ο νόμο του Κέπλερ (ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους), η ταχύτητα είναι ελάχιστη στο αφήλιο (2).

Απάντηση: (α) 3, (β) 1, (γ) 2, (δ) 4, (ε) 4, (στ) 2.

Το σχήμα δείχνει τον δυτικό ορίζοντα λίγο μετά τη δύση του Ήλιου. Η Αφροδίτη είναι εσωτερικός πλανήτης και φαίνεται πάντα κοντά στον Ήλιο (έως περίπου 47°).

(α) Αποσπερίτης: θέση 1. Η Αφροδίτη είναι ανατολικά του Ήλιου, πιο ψηλά από αυτόν πάνω από τον δυτικό ορίζοντα. Δύει μετά τον Ήλιο, οπότε τη βλέπουμε το βράδυ.

(β) Αυγερινός: θέση 2. Η Αφροδίτη είναι δυτικά του Ήλιου, πιο κοντά στον ορίζοντα. Δύει πριν από τον Ήλιο και ανατέλλει πριν από αυτόν, οπότε τη βλέπουμε το πρωί, στα ανατολικά.

(γ) Σύνοδος: θέση 3. Η Αφροδίτη βρίσκεται στην ίδια κατεύθυνση με τον Ήλιο, ανάμεσα σε αυτόν και τη Γη (κατώτερη σύνοδος). Μας στρέφει τη σκοτεινή της πλευρά και χάνεται στη λάμψη του Ήλιου.

(α) Από τις 20ώ 30λ έως τις 8ώ 10λ της επόμενης μέρας: $3^{\text{ωˊ}}30^{\text{λ}}$ μέχρι τα μεσάνυχτα και $8^{\text{ωˊ}}10^{\text{λ}}$ μετά, σύνολο 11 ώρες 40 λεπτά.

(β) Η μεσουράνηση γίνεται στη μέση του ημερήσιου τόξου: $20^{\text{ωˊ}}30^{\text{λ}}+5^{\text{ωˊ}}50^{\text{λ}}=$ 2ώ 20λ μετά τα μεσάνυχτα.

(γ) Η Σελήνη κινείται κάθε μέρα προς τα ανατολικά κατά $360^{\circ }/30=12^{\circ }$ ανάμεσα στα άστρα. Η Γη χρειάζεται $12^{\circ }\times 4\text{λεπταˊ}/1^{\circ }=48$ λεπτά για να «τη φτάσει». Η ανατολή καθυστερεί λοιπόν κατά 48 λεπτά: 21ώ 18λ περίπου. (Πιο αυστηρά, η καθυστέρηση είναι κοντά στα 50 λεπτά, γιατί κινείται και ο Ήλιος, και στην πράξη αλλάζει με την εποχή.)

6.1 Σ. «Πλανήτης» σημαίνει περιπλανώμενος. 6.2 Σ. Ο Ερατοσθένης μέτρησε την περιφέρεια της Γης (3ος αι. π.Χ.) από τη διαφορά ύψους του Ήλιου σε Συήνη και Αλεξάνδρεια.

6.3 Σ. Οι αστερισμοί είναι σχηματικές ομάδες άστρων στον ουράνιο θόλο. (Σήμερα ορίζονται ως 88 περιοχές του ουρανού με επίσημα όρια.) 6.4 Λ. Η μακρινότερη θέση λέγεται αφήλιο.

6.5 Λ. Ο Γαλιλαίος είδε κάτι παράξενο δίπλα στον Κρόνο («αυτιά»), αλλά δεν κατάλαβε ότι είναι δακτύλιος. Τους δακτυλίους τους εξήγησε ο Huygens το 1655. 6.6 Λ. Η ταχύτητα του φωτός είναι περίπου 300.000 km/s.

6.7 Σ. Ο Διεθνής Διαστημικός Σταθμός κατοικείται συνεχώς από τον Νοέμβριο του 2000. 6.8 Λ. Ο Ποσειδώνας προβλέφθηκε (Le Verrier, Adams) από τις ανωμαλίες στην τροχιά του Ουρανού και βρέθηκε το 1846.

6.9 Σ. Ο Ουρανός (ανακάλυψη 1781, Herschel) είναι ο πλησιέστερος στον Ήλιο από τους πλανήτες που δεν ήξεραν οι αρχαίοι. 6.10 Λ. Ο Ίππαρχος κατέταξε τα άστρα σε 6 μεγέθη.

Οι πλανήτες γυρίζουν στην ίδια θέση ανάμεσα στα άστρα (περίπου στον ίδιο αστερισμό) κάθε μία αστρική περίοδο περιφοράς. Ο Πλούτωνας έχει περίοδο περίπου 248 έτη και ο Κρόνος περίπου 29,5 (περίπου 30) έτη.

(α) $2010+248=2258$ και $2010+2\times 248=2506$. Ο Πλούτωνας θα έχει κάνει μία και δύο πλήρεις περιφορές, οπότε θα είναι πάλι στον Τοξότη.

(β) Τα 2040, 2070 και 2190 απέχουν 30, 60 και 180 έτη από το 2010, δηλαδή 1, 2 και 6 περιφορές του Κρόνου με περίοδο 30 ετών. Άρα ο Κρόνος θα είναι πάλι στην Παρθένο.

Σημείωση: με την ακριβή περίοδο (29,46 έτη) το 2190 ο Κρόνος θα έχει προχωρήσει περίπου 40° πέρα από τη θέση του, προς τον Ζυγό και τον Σκορπιό. Η «επανάληψη» ισχύει ακριβώς μόνο για ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου.

8.1 Β (ανοιχτό σμήνος, οι Πλειάδες). 8.2 Γ (21 Μαρτίου). 8.3 Δ: η Πανσέληνος έρχεται περίπου 14–15 μέρες μετά τη Νέα Σελήνη (μισός συνοδικός μήνας, $29,5/2\approx 14,8$).

8.4 Α (περιήλιο). 8.5 Β (Αρίσταρχος ο Σάμιος, 3ος αι. π.Χ.). 8.6 Ε: ο Ήλιος απέχει περίπου 150 εκατομμύρια km, δηλαδή 8,3 λεπτά φωτός. Καμία επιλογή δεν είναι σωστή.

8.7 Γ (κύρια ζώνη ανάμεσα σε Άρη και Δία). 8.8 Α (ο Κρόνος είναι ο αμέσως επόμενος πλανήτης μετά τον Δία). 8.9 Β: στη Σελήνη η βαρύτητα είναι περίπου το 1/6 της γήινης, ενώ στον Δία μεγαλύτερη. 8.10 Δ: πτώση μεγάλου μετεωρίτη (αστεροειδούς) πριν από 66 εκατομμύρια χρόνια, με κρατήρα το Chicxulub στο Μεξικό.