3η φάση 2012, Λύκειο: θέματα και λύσεις

Λόγω της μετάπτωσης, τα ισημερινά σημεία και τα ηλιοστάσια μετακινούνται αργά προς τα δυτικά κατά μήκος της εκλειπτικής: \(360^\circ\) σε περίπου 25 800 χρόνια, δηλαδή περίπου \(50''\) τον χρόνο ή \(1^\circ\) σε 72 χρόνια.

Από το 450 π.Χ. μέχρι σήμερα (2012) πέρασαν περίπου 2460 χρόνια, οπότε το θερινό ηλιοστάσιο μετακινήθηκε κατά \[\dfrac{2460}{25\,800}\times360^\circ\approx34^\circ,\] δηλαδή λίγο περισσότερο από ένα ζώδιο των \(30^\circ\), προς τα πίσω. Στις 21 Ιουνίου ο Ήλιος δεν μπαίνει πια στον Καρκίνο αλλά βρίσκεται στο προηγούμενο ζώδιο, τους Διδύμους.

Σήμερα λοιπόν ο παράλληλος των \(23{,}5^\circ\) Β θα έπρεπε να λέγεται «Τροπικός των Διδύμων». (Με τα σύγχρονα επίσημα όρια των αστερισμών, που δεν είναι ίσα τόξα των \(30^\circ\), το θερινό ηλιοστάσιο πέρασε το 1990 μέσα στον Ταύρο, πολύ κοντά στο όριο με τους Διδύμους.)

Α) Η ποσότητα του φωτός που συλλέγεται είναι ανάλογη με το εμβαδόν του κατόπτρου, δηλαδή με \(D^2\): μεγαλύτερο κάτοπτρο βλέπει αμυδρότερα και μακρινότερα αντικείμενα. Επιπλέον, η διακριτική ικανότητα βελτιώνεται με τη διάμετρο, \(\theta\approx1{,}22\lambda/D\), οπότε ξεχωρίζουν μικρότερες λεπτομέρειες.

Β) Ένα παραβολοειδές κάτοπτρο συγκεντρώνει όλες τις ακτίνες που έρχονται παράλληλα με τον άξονά του (από ένα μακρινό άστρο) ακριβώς στο ίδιο σημείο, την εστία. Ένα σφαιρικό κάτοπτρο θα εστίαζε τις εξωτερικές ακτίνες σε άλλο σημείο από τις κεντρικές (σφαιρική εκτροπή) και το είδωλο θα ήταν θολό.

Γ) Ο προσοφθάλμιος λειτουργεί σαν μεγεθυντικός φακός: μεγεθύνει το είδωλο που σχηματίζει το κάτοπτρο στην εστία και το φέρνει στο μάτι με παράλληλες ακτίνες. Από την εστιακή του απόσταση εξαρτάται η μεγέθυνση, \(M=F/f\).

Δ) Πάνω από την ατμόσφαιρα: (1) παρατηρούνται μήκη κύματος που η ατμόσφαιρα απορροφά (ακτίνες γ και Χ, υπεριώδες, μεγάλο μέρος του υπέρυθρου)· (2) δεν υπάρχει η αναταραχή του αέρα που θολώνει τα είδωλα, οπότε τα είδωλα φτάνουν το όριο της περίθλασης· (3) δεν υπάρχουν σύννεφα, φωτορύπανση και διακοπή της ημέρας, και οι παρατηρήσεις είναι συνεχείς.

Α) Ο Βέγας (α της Λύρας), ο Ντενέμπ (α του Κύκνου) και ο Αλτάιρ (α του Αετού).

Β) Η πλευρά Ντενέμπ–Αλτάιρ. Ακολουθεί τη λωρίδα του Γαλαξία, που περνά από τον Κύκνο και τον Αετό, και προεκτεινόμενη νότια οδηγεί προς τον Τοξότη, όπου βρίσκεται το κέντρο του Γαλαξία. (Με ακρίβεια, η προέκταση περνά περίπου \(15^\circ\)–\(20^\circ\) από το κέντρο· από τις τρεις πλευρές είναι όμως αυτή που πλησιάζει περισσότερο.)

Γ) Η Λύρα: μικρός αστερισμός με τον λαμπρό Βέγα και ένα μικρό παραλληλόγραμμο από τα β, γ, δ, ζ. Ο Κύκνος: ο «Βόρειος Σταυρός», με τον Ντενέμπ στην ουρά και τον Αλμπιρέο (β) στο κεφάλι, πάνω στον άξονα του Γαλαξία. Ο Αετός: ο Αλτάιρ ανάμεσα σε δύο αμυδρότερα άστρα, τον Ταράζεντ (γ) και τον Αλσάιν (β), σε μια μικρή ευθεία.

Ο Ήλιος θα φαινόταν με μέγεθος \(m=1\) από απόσταση \(d\) που ικανοποιεί \(m-M=5\log_{10}(d/10)\): \[\log_{10}\dfrac{d}{10}=\dfrac{1-4{,}82}{5}=-0{,}764\Rightarrow d=10\times10^{-0{,}764}\approx1{,}7\ \text{pc}\approx5{,}6\ \text{έτη φωτός}.\]

Ως πρώτου μεγέθους ή λαμπρότερος φαίνεται ο Ήλιος από κάθε αστέρα σε απόσταση μικρότερη από 5,6 έτη φωτός. Τέτοιο είναι μόνο το σύστημα του α Κενταύρου (περίπου 4,3 έτη φωτός): από εκεί ο Ήλιος φαίνεται με μέγεθος περίπου \(4{,}82+5\log_{10}(1{,}34/10)\approx0{,}5\), στον αστερισμό της Κασσιόπης. Από τους αστέρες του συστήματος, ο α Κενταύρου Α και ο Β φαίνονται με γυμνό μάτι (σαν ένα άστρο, μέγεθος −0,3)· ο Εγγύτατος (Proxima) όχι. Ο επόμενος πλησιέστερος, ο αστέρας του Barnard, απέχει 6 έτη φωτός, λίγο πιο μακριά από το όριο, και δεν φαίνεται με γυμνό μάτι.

Για κάθε κυκλική τροχιά γύρω από κεντρική μάζα \(M\): \(T^2=\dfrac{4\pi^2r^3}{GM}\Rightarrow M=\dfrac{4\pi^2r^3}{GT^2}\). Διαιρώντας τις δύο σχέσεις (Γαλαξίας–Ήλιος και Ήλιος–Γη), φεύγουν οι σταθερές: \[\dfrac{M_G}{M_Η}=\left(\dfrac{R}{r}\right)^3\left(\dfrac{T_Γ}{T_Η}\right)^2.\]

Τα μήκη στις ίδιες μονάδες: \(R=30\,000\) έτη φωτός \(=30\,000\times365\times24\times60\approx1{,}58\times10^{10}\) λεπτά φωτός, άρα \(R/r=1{,}58\times10^{10}/8\approx1{,}97\times10^{9}\). \[\dfrac{M_G}{M_Η}=(1{,}97\times10^{9})^3\left(\dfrac{1}{2{,}4\times10^{8}}\right)^2\approx7{,}66\times10^{27}\times1{,}74\times10^{-17}\approx1{,}3\times10^{11}.\] Η μάζα του Γαλαξία μέσα στην τροχιά του Ήλιου είναι περίπου \(10^{11}\) ηλιακές μάζες. (Η συνολική μάζα, μαζί με τη σκοτεινή ύλη της άλω, είναι αρκετά μεγαλύτερη.)