3η φάση «Ίππαρχος» 2012, Λύκειο, Θέμα 5: εκφώνηση και λύση

Το θέμα 5 της 3ης φάσης («Ίππαρχος») 2012 για το Λύκειο, 17ος διαγωνισμός. Είναι θέμα της κατηγορίας «Γαλαξίες και κοσμολογία» (θεματική: Γαλαξίες και κλίμακες, Νόμοι του Kepler και τροχιές), με εκτιμώμενη δυσκολία «μέτριο». Πρώτα προσπάθησε μόνος σου. Αν κολλήσεις, πάρε μια υπόδειξη ή δες τη λύση.

εκφώνηση

Ρώτα τον Ερατοσθένη

Πριν πεις «Το έλυσα»: έλεγξε τη λύση σου

Αιτιολόγησα κάθε βήμα, όχι μόνο το αποτέλεσμα;
Βρήκα όλες τις λύσεις και εξέτασα όλες τις περιπτώσεις;
Έλεγξα μονάδες, τάξη μεγέθους και ότι η απάντηση ικανοποιεί τις συνθήκες;
Θα την καταλάβαινε κάποιος που δεν ξέρει τη λύση;

Λύση του αρχείου

Για κάθε κυκλική τροχιά γύρω από κεντρική μάζα $M$ : $T^{2} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{GM} \Rightarrow M = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}$ . Διαιρώντας τις δύο σχέσεις (Γαλαξίας–Ήλιος και Ήλιος–Γη), φεύγουν οι σταθερές: \[\dfrac{M_G}{M_Η}=\left(\dfrac{R}{r}\right)^3\left(\dfrac{T_Γ}{T_Η}\right)^2.\]

Τα μήκη στις ίδιες μονάδες: $R = 30000$ έτη φωτός $= 30000 \times 365 \times 24 \times 60 \approx 1, 58 \times 1 0^{10}$ λεπτά φωτός, άρα $R / r = 1, 58 \times 1 0^{10} /8 \approx 1, 97 \times 1 0^{9}$ . \[\dfrac{M_G}{M_Η}=(1{,}97\times10^{9})^3\left(\dfrac{1}{2{,}4\times10^{8}}\right)^2\approx7{,}66\times10^{27}\times1{,}74\times10^{-17}\approx1{,}3\times10^{11}.\] Η μάζα του Γαλαξία μέσα στην τροχιά του Ήλιου είναι περίπου $1 0^{11}$ ηλιακές μάζες. (Η συνολική μάζα, μαζί με τη σκοτεινή ύλη της άλω, είναι αρκετά μεγαλύτερη.)

Δεν υπάρχει επίσημη λύση για αυτό το θέμα. Τη λύση την έγραψε η επιμέλεια του αρχείου· αν βρεις λάθος, γράψε μας.

Κατηγορία: Γαλαξίες και κοσμολογία, Ουράνια μηχανική · Θεματική: Γαλαξίες και κλίμακες, Νόμοι του Kepler και τροχιές · Δυσκολία: μέτριο. Η κατηγορία και η δυσκολία είναι εκτιμήσεις.

σχετική θεωρία

τα άλλα θέματα του ίδιου διαγωνίσματος

3η φάση 2012, θέμα 1 Ουράνια σφαίρα και χρόνος
3η φάση 2012, θέμα 2 Τηλεσκόπια και παρατήρηση
3η φάση 2012, θέμα 3 Τηλεσκόπια και παρατήρηση
3η φάση 2012, θέμα 4 Αστέρες και ακτινοβολία

εκφώνηση

σχετική θεωρία

τα άλλα θέματα του ίδιου διαγωνίσματος

παρόμοια θέματα