2η φάση 2015, Λύκειο: θέματα και λύσεις

Η γωνιακή διάμετρος (σε rad) για μικρές γωνίες είναι \(\theta=D/d\), με \(d=5{,}2\times1{,}496\times10^{11}=7{,}78\times10^{11}\) m: \[\theta=\dfrac{1{,}4\times10^9}{7{,}78\times10^{11}}=1{,}8\times10^{-3}\ \text{rad}=1{,}8\times10^{-3}\times206\,265''\approx371''\approx6{,}2'.\] Από τη Γη ο Ήλιος φαίνεται με διάμετρο περίπου 32′, δηλαδή από την Ευρώπη φαίνεται περίπου 5 φορές μικρότερος.

Διαφορά δύο μεγεθών σημαίνει λόγο λαμπροτήτων \(10^{0{,}4\cdot2}=6{,}31\). Στην κύρια ακολουθία ο θερμότερος αστέρας είναι και ο λαμπρότερος.

Από \(L=4\pi R^2\sigma T^4\): \[\dfrac{L_1}{L_2}=\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^4\Rightarrow\dfrac{R_1}{R_2}=\sqrt{\dfrac{L_1}{L_2}}\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^2=\sqrt{6{,}31}\left(\dfrac{5000}{6000}\right)^2=2{,}51\times0{,}694\approx1{,}74.\] Ο αστέρας των 6000 K έχει ακτίνα 1,74 φορές μεγαλύτερη.

Α) Η παρατηρούμενη συχνότητα είναι μεγαλύτερη από την εργαστηριακή, άρα υπάρχει μετατόπιση προς το ιώδες. Για \(v\ll c\): \(\dfrac{\Delta f}{f_r}=\dfrac{v}{c}\Rightarrow v=c\dfrac{1421{,}23-1420{,}41}{1420{,}41}=3\times10^5\times5{,}77\times10^{-4}\approx173\) km/s. Υποθέτουμε ότι εκείνη τη στιγμή η ταχύτητα του νέφους είναι κατά μήκος της οπτικής μας ακτίνας· αλλιώς αυτή είναι μόνο η ακτινική της συνιστώσα.

Β) Αφού η συχνότητα αυξήθηκε (μήκος κύματος μικρότερο), το νέφος πλησιάζει.

Γ) Για κυκλική τροχιά: \(M=\dfrac{v^2d}{G}=\dfrac{(1{,}73\times10^5)^2\cdot0{,}2\times3{,}09\times10^{16}}{6{,}67\times10^{-11}}\approx2{,}8\times10^{36}\) kg, δηλαδή περίπου \(1{,}4\times10^{6}\,M_\odot\). Η τιμή είναι της ίδιας τάξης με τη μάζα της μαύρης τρύπας Τοξότης Α* (περίπου \(4\times10^6\,M_\odot\)).

Α) Τα 200 φωτόνια το δευτερόλεπτο μπαίνουν στο μάτι (κόρη διαμέτρου 8 mm). Η ισχύς που φτάνει στο μάτι είναι \(P=200\times4\times10^{-19}=8\times10^{-17}\) W, οπότε η ροή είναι \[f=\dfrac{P}{\pi(4\times10^{-3})^2}=\dfrac{8\times10^{-17}}{5{,}03\times10^{-5}}\approx1{,}6\times10^{-12}\ \text{W/m}^2.\] Με \(r=7000\times9{,}46\times10^{15}=6{,}62\times10^{19}\) m: \(L=4\pi r^2f=4\pi(6{,}62\times10^{19})^2\cdot1{,}6\times10^{-12}\approx8{,}8\times10^{28}\) W, περίπου 230 φορές η λαμπρότητα του Ήλιου.

Β) Σε 10 φορές μεγαλύτερη απόσταση η ροή είναι 100 φορές μικρότερη. Για να μαζέψουμε τα ίδια 200 φωτόνια/s χρειάζεται 100 φορές μεγαλύτερη επιφάνεια, δηλαδή 10 φορές μεγαλύτερη διάμετρο: \(D=10\times8\) mm \(=80\) mm.

Απαντήσεις: 1 Λ, 2 Σ, 3 Λ, 4 Λ, 5 Λ, 6 Σ, 7 Λ, 8 Σ, 9 Σ, 10 Σ

1: όλοι οι αστέρες έχουν παράλλαξη μικρότερη από 1″ (ο πλησιέστερος, 0,77″)· 1′ θα αντιστοιχούσε σε απόσταση 1/60 pc. 2: οι αστέρες τύπου B (10 000–30 000 K) είναι θερμότεροι από τους G (περίπου 5500 K). 3: οι φασματοσκοπικά διπλοί δεν ξεχωρίζουν με τηλεσκόπιο· τους αναγνωρίζουμε μόνο από τις μετατοπίσεις Doppler των γραμμών τους.

4: ο ρυθμός υπερκαινοφανών στον Γαλαξία εκτιμάται σε περίπου 1–3 ανά αιώνα, όχι ανά έτος. 5: ο λαμπρότερος του Λέοντα είναι ο Βασιλίσκος· ο Μπετελγκέζ ανήκει στον Ωρίωνα. 6: το νεφέλωμα της Κεφαλής του Ίππου είναι σκοτεινό νεφέλωμα σκόνης μπροστά από φωτεινό αέριο. 7: το «κοσμικό έτος», μια περιφορά του Ήλιου γύρω από το κέντρο του Γαλαξία, διαρκεί περίπου 230–250 εκατομμύρια χρόνια.

8: η ακτινοβολία υποβάθρου έχει μέγιστο γύρω στο 1 mm, στα μικροκύματα. 9: αειφανής θα ήταν για \(\delta>90^\circ-\varphi=70^\circ\)· με \(\delta=60^\circ\) ο αστέρας ανατέλλει και δύει, άρα είναι αμφιφανής. 10: η ισημερινή στήριξη, με κινητήρα παρακολούθησης, ακολουθεί έναν αστέρα στρέφοντας μόνο τον πολικό άξονα.