3η φάση 2016, Γυμνάσιο: θέματα και λύσεις

Ο ουρανός στρέφεται \(15^\circ\) την ώρα, άρα το τόξο των \(105^\circ\) διανύεται σε \(105/15=7\) ώρες.

(α) Ανέτειλε 7 ώρες πριν τη δύση: \(4^\text{h}40^\text{m}-7^\text{h}=21^\text{h}40^\text{m}\) της προηγούμενης ημέρας.

(β) Μεσουράνησε στη μέση του τόξου, 3,5 ώρες μετά την ανατολή: \(21^\text{h}40^\text{m}+3^\text{h}30^\text{m}=1^\text{h}10^\text{m}\).

Η σκιά της Γης είναι ένας κώνος. Από όμοια τρίγωνα: αν \(L\) είναι το μήκος της σκιάς πίσω από τη Γη, τότε η κορυφή του κώνου απέχει \(d+L\) από τον Ήλιο και \[\dfrac{R_\odot}{d+L}=\dfrac{R_\oplus}{L}\Rightarrow L=\dfrac{R_\oplus\,d}{R_\odot-R_\oplus}=\dfrac{R_\oplus\cdot23\,440R_\oplus}{108R_\oplus}\approx217\,R_\oplus.\] Δηλαδή \(L\approx217\times6400\approx1{,}39\times10^{6}\) km. Η σκιά φτάνει πολύ πιο μακριά από τη Σελήνη (60 \(R_\oplus\)), γι’ αυτό μπορούν να γίνουν ολικές εκλείψεις Σελήνης.

(α) Γειτονικοί αστερισμοί του Ωρίωνα: ο Ταύρος, οι Δίδυμοι, ο Μονόκερως, ο Λαγός και ο Ηριδανός.

(β) Ο Μπετελγκέζ (α, ερυθρός υπεργίγαντας) και ο Ρίγκελ (β, γαλάζιος υπεργίγαντας)· επίσης ο Μπελατρίξ και τα άστρα της ζώνης, Ανιτάκ, Ανιλάμ, Μιντάκα.

(γ) Το νεφέλωμα του Ωρίωνα (M42) φαίνεται με γυμνό μάτι στο «ξίφος» του κυνηγού. Είναι νέφος αερίου και σκόνης σε απόσταση περίπου 1350 ετών φωτός, όπου γεννιούνται νέοι αστέρες· το φωτίζουν οι θερμοί αστέρες του Τραπεζίου.

(δ) Το χειμερινό τρίγωνο σχηματίζουν ο Μπετελγκέζ (Ωρίων), ο Σείριος (Μεγάλος Κύων, κάτω αριστερά από τον Ωρίωνα, στην προέκταση της ζώνης) και ο Προκύων (Μικρός Κύων, αριστερά, προς τα ανατολικά). Στη φωτογραφία τους κυκλώνεις στις θέσεις αυτές.

Η Σελήνη μεσουρανεί στις 17:00, ενώ ο Ήλιος μεσουρανεί περίπου στις 12:00. Άρα βρίσκεται 5 ώρες, δηλαδή \(5\times15^\circ=75^\circ\), ανατολικά του Ηλίου: είναι αύξων μηνίσκος, σχεδόν πρώτο τέταρτο, όπως δείχνει και η φωτογραφία.

(α) Σε μία ώρα, λόγω της περιστροφής της Γης, η Σελήνη μετακινείται μαζί με όλο τον ουρανό περίπου \(15^\circ\) προς τα δυτικά. Επειδή η ίδια κινείται στην τροχιά της περίπου \(0{,}5^\circ\) την ώρα προς τα ανατολικά ως προς τα άστρα, η συνολική μετακίνηση είναι περίπου \(14{,}5^\circ\) δυτικά.

(β) Σε μία ημέρα η Σελήνη μετατοπίζεται ως προς τα άστρα περίπου \(360^\circ/27{,}3\approx13^\circ\) προς τα ανατολικά (περίπου \(12^\circ\) ως προς τον Ήλιο). Γι’ αυτό κάθε μέρα μεσουρανεί και ανατέλλει περίπου 50 λεπτά αργότερα.

(γ) Για να γίνει πανσέληνος πρέπει να απέχει \(180^\circ\) από τον Ήλιο, δηλαδή να «προχωρήσει» άλλες \(105^\circ\). Με \(12{,}2^\circ\) την ημέρα ως προς τον Ήλιο χρειάζεται περίπου \(105/12{,}2\approx8{,}6\), δηλαδή περίπου 9 ημέρες. Η πανσέληνος ανατέλλει περίπου όταν δύει ο Ήλιος, γύρω στις 18:00–19:00 ανάλογα με την εποχή.

Η λαμπρότητα ενός μακρόστενου αστεροειδούς που περιστρέφεται εξαρτάται από το πόση επιφάνεια μας δείχνει.

(α) Όταν ο μεγάλος άξονας είναι κάθετος στην ευθεία παρατήρησης, βλέπουμε τη μεγαλύτερη επιφάνεια: είναι τα μέγιστα της καμπύλης, γύρω στο 0,55 και στο 0,75 της ημέρας.

(β) Όταν ο μικρός άξονας είναι κάθετος στην ευθεία παρατήρησης (δηλαδή τον βλέπουμε «από την άκρη»), βλέπουμε τη μικρότερη επιφάνεια: είναι τα ελάχιστα, κυρίως το βαθύ ελάχιστο γύρω στο 0,68 (και το ρηχότερο γύρω στο 0,59).

(γ) Σε μία περιστροφή ο αστεροειδής δείχνει δύο φορές τη «φαρδιά» πλευρά του, άρα εμφανίζονται δύο μέγιστα ανά περίοδο. Τα μέγιστα απέχουν περίπου \(0{,}75-0{,}55=0{,}20\) ημέρες, άρα η περίοδος είναι περίπου \(2\times0{,}20=0{,}40\) ημέρες \(\approx9{,}6\) ώρες. (Η επίσημα μετρημένη περίοδος περιστροφής του 40 Harmonia είναι περίπου 8,9 ώρες, πολύ κοντά στην εκτίμησή μας από ένα μόνο βράδυ παρατήρησης.)