2η φάση 2015, Γυμνάσιο: θέματα και λύσεις

(Α) Όχι. Οι αστέρες ενός αστερισμού απλώς φαίνονται κοντά στην ίδια διεύθυνση. Οι επτά λαμπροί αστέρες της Μεγάλης Άρκτου απέχουν από περίπου 80 έως περίπου 125 έτη φωτός (π.χ. ο Μιζάρ περίπου 83, ο Ντούμπε περίπου 123).

(Β) Όχι. Κάθε αστέρας έχει τη δική του κίνηση στον χώρο (ιδία κίνηση). Οι πέντε μεσαίοι αστέρες κινούνται μαζί σαν ομάδα, αλλά ο Ντούμπε και ο Αλκαΐντ κινούνται σε άλλες κατευθύνσεις, οπότε σε 100 000 χρόνια το σχήμα της «κατσαρόλας» θα έχει αλλάξει αισθητά.

(Γ) Κοιτάζοντας προς τον Βορρά, ο ουρανός περιστρέφεται αριστερόστροφα γύρω από τον Πολικό, \(15^\circ\) την ώρα. Σε 6 ώρες η Μεγάλη Άρκτος θα έχει στραφεί κατά \(90^\circ\) αριστερόστροφα γύρω από τον Πολικό, με το ίδιο σχήμα.

(Δ) Στις 7 Αυγούστου, έξι μήνες αργότερα, την ίδια ώρα τα άστρα βρίσκονται περίπου 12 ώρες «μπροστά» (κάθε μέρα μεσουρανούν 4 λεπτά νωρίτερα, δηλαδή 2 ώρες τον μήνα). Η Μεγάλη Άρκτος θα είναι στραμμένη κατά \(180^\circ\) γύρω από τον Πολικό, στην αντιδιαμετρική θέση, χαμηλά κάτω από τον Πολικό.

Στο σχήμα ο Ήλιος φωτίζει από αριστερά, και η Σελήνη περιφέρεται γύρω από τη Γη αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού (όπως βλέπουμε το σύστημα από τον Βορρά). Η Γη, όπως φαίνεται από τη Σελήνη, και η Σελήνη, όπως φαίνεται από τη Γη, έχουν πάντα «συμπληρωματικές» φάσεις: όσο μεγαλύτερο μέρος της φωτισμένης Γης βλέπει ο αστροναύτης, τόσο μικρότερο μέρος της φωτισμένης Σελήνης βλέπουμε εμείς.

(Α) Πλήρως φωτισμένη Γη σημαίνει ότι ο αστροναύτης βλέπει όλο το φωτεινό ημισφαίριο της Γης, άρα η Σελήνη βρίσκεται ανάμεσα σε Ήλιο και Γη: θέση 7. Από τη Γη βλέπουμε τότε νέα σελήνη.

(Β) Όταν ο αστροναύτης βλέπει τη Γη μισοφωτισμένη, η Σελήνη βρίσκεται στις θέσεις 1 ή 5, σε τετραγωνισμό. Η φάση της Γης που αυξάνει (πρώτο τέταρτο) αντιστοιχεί σε φάση της Σελήνης που μειώνεται: η Σελήνη είναι στο τελευταίο τέταρτο, στη θέση 1.

Αν ο άξονας δεν είχε κλίση, ο Ήλιος θα κινούνταν όλο τον χρόνο πάνω στον ουράνιο ισημερινό, με απόκλιση πάντα \(0^\circ\), όπως σήμερα στις ισημερίες.

(Α) Το σημείο της ανατολής δεν θα άλλαζε: ο Ήλιος θα ανέτελλε κάθε μέρα ακριβώς στην Ανατολή και θα έδυε ακριβώς στη Δύση, σε κάθε τόπο.

(Β) Σε κάθε τόπο, εκτός από τους πόλους, μέρα και νύχτα θα διαρκούσαν από 12 ώρες όλο τον χρόνο, χωρίς καμία αλλαγή. Στον ισημερινό αυτό ισχύει περίπου και σήμερα· στη χώρα μας, όπου σήμερα η μέρα κυμαίνεται από περίπου 9,5 έως 15 ώρες, θα ήταν πάντα 12. Στους πόλους ο Ήλιος θα γύριζε συνεχώς γύρω από τον ορίζοντα, μισοβυθισμένος, χωρίς να ανατέλλει ή να δύει: ένα μόνιμο «λυκόφως». Δεν θα υπήρχαν εποχές.

(Α) Σε αντίθεση, ο Ποσειδώνας και η Γη βρίσκονται στην ίδια πλευρά του Ηλίου, πάνω στην ίδια ευθεία: \(d=30{,}16-1=29{,}16\) AU \(=29{,}16\times1{,}5\times10^{11}=4{,}37\times10^{12}\) m. \[t=\dfrac{d}{c}=\dfrac{4{,}37\times10^{12}}{3\times10^8}\approx1{,}46\times10^{4}\ \text{s}\approx4\ \text{h}\ 3\ \text{min}.\]

(Β) Σε τετραγωνισμό, η γωνία Ήλιος–Γη–Ποσειδώνας είναι \(90^\circ\). Από το Πυθαγόρειο θεώρημα: \(d=\sqrt{30{,}16^2-1^2}\approx30{,}14\) AU \(\approx4{,}52\times10^{12}\) m, οπότε \(t\approx1{,}51\times10^{4}\) s \(\approx4\) h 11 min.

Απαντήσεις: 1 Λ, 2 Λ, 3 Λ, 4 Σ, 5 Λ, 6 Σ, 7 Σ, 8 Λ, 9 Λ, 10 Σ

1: η Ανδρομέδα είναι σπειροειδής γαλαξίας. 2: το νέφος του Oort είναι ένα τεράστιο σφαιρικό «νέφος» από δισεκατομμύρια παγωμένα σώματα (πυρήνες κομητών) στα όρια του ηλιακού συστήματος, όχι νεφέλωμα. 3: ο Galileo υποστήριξε το ηλιοκεντρικό σύστημα. 4: σωστό, η ταχύτητα διαφυγής από την επιφάνεια της Γης. 5: ο συνοδικός μήνας διαρκεί περίπου 29,5 ημέρες.

6: οι Γαλιλαϊκοί δορυφόροι είναι η Ιώ, η Ευρώπη, ο Γανυμήδης και η Καλλιστώ. 7: ο Ήλιος, μαζί με τη Γη, κινείται προς τον «κόρυμβο» (apex), στον αστερισμό του Ηρακλή. 8: τον Ποσειδώνα τον βρήκε ο Galle το 1846, με βάση τους υπολογισμούς του Le Verrier· ο Herschel ανακάλυψε τον Ουρανό (1781). 9: ο Ερμής έχει πυκνότητα περίπου 5,4 g/cm³, πάνω από πέντε φορές του νερού. 10: σωστό, η σύγχρονη περιστροφή της Σελήνης.